第一章 概率论基础

一、填空题

1．设P(A) 0.4,P(A B) 0.7，若A，B互不相容，则P(B) ， 若A，B相互独立，则P(B) 0.5 ．

2．设P(A1) P(A2) P(A3) ，A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3至少出现一个的概率

3

为19

27

；A1,A2,A3恰好出现一个的概率为4

9

；A1,A2,A3最多出现一个的概率为20

27

．

3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 ．

4．设在一次试验中，事件A发生的概率为p．现进行n次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为1 1 p ；而事件A至多发生一次的概率为

n

1 p np 1 p

nn 1

．

5

3

4

5．三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为,,

，则此密码被译出的概率为

二、选择题

1．设A、B为两个事件，则(A B)(A B)表示 （ C ）． （A） 必然事件； (B) 不可能事件；

（C） A与B恰有一个发生； (D) A与B不同时发生．

2．对事件A、B，下列命题正确的是 （ D ）． （A） 如果A、B互不相容，则A、B也互不相容；

（B） 如果A、B相容，则A、B也相容；

（C） 如果A、B互不相容，且P(A) 0，P(B) 0，则A、B相互独立； （D）如果A、B相互独立，则A、B也相互独立．

3．设AB C，则 （ A ）． （A）AB C；（B）A C且B C；（C）A B C；（D）A C或B C． 4．设A、B是任意两个事件，则P(A B) （ C ）． （A） P(A) P(B)； （B） P(A) P(B) P(AB)；

（C） P(A) P(AB)； （D） P(A) P(B) P(AB)．

5．设A、B是任意两个事件，则一定有P(A B) （ D ）． （A） P(A) P(B)； （B） P(A) P(B) P(A)P(B)； （C） 1 P(A)P(B)； （D） P(A) P(B) P(AB)．

三、计算与证明题

1．指明在下列各条件下，事件A，B，C之间的包含关系．

（1）若A和B同时发生，则C必发生；（2） A和B有一个发生，则C必发生； （3）若A发生，则B必不发生；（4） A和B同时发生的充分必要条件是C不发生； （5）A发生的充分必要条件是B不发生．

解 （1）AB C，即积事件AB包含于事件C； （2）(AUB) C，即和事件AUB包含于事件C； （3）AB ，即积事件AB为不可能事件；

（4）AB C，即积事件AB等于事件C的对立事件C；

1

（5）A B，即积事件A等于事件B的对立事件B．

2．对任意的随机事件A,B,C，证明：P(AB) P(AC) P(BC) P(A)． 证明 因为A (AB AC)，所以

P(A) P(AB AC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(AB) P(AC) P(BC)

3．将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：

（1）A是任意3个盒子中各有1个球；（2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球． 解 1 P A

C4 3 2 14

121C4C3C3

33

3

2 P B 0.375，

C44

3

1

0.0625，

4

4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任

3 P C

0.5625．

意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0 , 1 , 2 , 3）．

解 （请自己作图结合图形阅读）一面涂有颜色的小立方体个数(8 8) 6=384， 其中8 8为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数．

二面涂有颜色的小立方体个数小立方体被重复计算2 次．

三面涂有颜色的小立方体个数：8（即大立方体顶点个数）． 0 面涂有颜色的小立方体个数 1000 8 8 6 所以k 0,1,2,3的概率分别为

p0 P{k 0} p2 P{k 2}

5121000961000

0.512; 0.096;

p1 P{k 1}

384100081000

0.384;

(8 4) 6

2

(8 4) 6

2

96，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类

8 512．

0.008.

p3 P{k 3}

5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求 线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．

解 设OC x, 则 CA 1 x,OB

. 三线段能构成三角形，应有 2

OB OC CA,OB CA OC, 12

x 1 x,

14

12

1 x x. 34.

1

即

解得 x

13

C点可在 [0,1] 上取，但构成三角形的点只能在 [,] 上取，故由几何概型可得所求概率为

44

3p 4

1

4 1． 12

6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：

2

（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；

（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．

解 （1）设Bi（i=0，1，2，3，4，5）表示1000个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡都是好灯泡，显然

100

P(B1i)

，6

P(ABi)

C1000 iC

100，

1000

5

100

100

100

100

100

100

P(A)

P(B(AB1C

C999C998C997C996C995i)Pi) 6(1000C100 C100 100 100 100 100

)i 0

10001000C1000C1000C1000C1000

1

6 1 0.9 0.8099 0.7287 0.6557 0.5857

0.78.

（2）根据贝叶斯公式：

P(B(B0)P(A|B0)

0|A)

P5

P(Bi)P(A|Bi)

i 0

C100

1000

C1001001000 C999 C100100100998 C997 C996 C100

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