第一章 概率论基础

一、填空题

1．设P(A) 0.4,P(A B) 0.7，若A，B互不相容，则P(B) ， 若A，B相互独立，则P(B) 0.5 ．

2．设P(A1) P(A2) P(A3) ，A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3至少出现一个的概率

3

为19

27

；A1,A2,A3恰好出现一个的概率为4

9

；A1,A2,A3最多出现一个的概率为20

27

．

3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 ．

4．设在一次试验中，事件A发生的概率为p．现进行n次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为1 1 p ；而事件A至多发生一次的概率为

n

1 p np 1 p

nn 1

．

5

3

4

5．三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为,,

，则此密码被译出的概率为

二、选择题

1．设A、B为两个事件，则(A B)(A B)表示 （ C ）． （A） 必然事件； (B) 不可能事件；

（C） A与B恰有一个发生； (D) A与B不同时发生．

2．对事件A、B，下列命题正确的是 （ D ）． （A） 如果A、B互不相容，则A、B也互不相容；

（B） 如果A、B相容，则A、B也相容；

（C） 如果A、B互不相容，且P(A) 0，P(B) 0，则A、B相互独立； （D）如果A、B相互独立，则A、B也相互独立．

3．设AB C，则 （ A ）． （A）AB C；（B）A C且B C；（C）A B C；（D）A C或B C． 4．设A、B是任意两个事件，则P(A B) （ C ）． （A） P(A) P(B)； （B） P(A) P(B) P(AB)；

（C） P(A) P(AB)； （D） P(A) P(B) P(AB)．

5．设A、B是任意两个事件，则一定有P(A B) （ D ）． （A） P(A) P(B)； （B） P(A) P(B) P(A)P(B)； （C） 1 P(A)P(B)； （D） P(A) P(B) P(AB)．

三、计算与证明题

1．指明在下列各条件下，事件A，B，C之间的包含关系．

（1）若A和B同时发生，则C必发生；（2） A和B有一个发生，则C必发生； （3）若A发生，则B必不发生；（4） A和B同时发生的充分必要条件是C不发生； （5）A发生的充分必要条件是B不发生．

解 （1）AB C，即积事件AB包含于事件C； （2）(AUB) C，即和事件AUB包含于事件C； （3）AB ，即积事件AB为不可能事件；

（4）AB C，即积事件AB等于事件C的对立事件C；

1

（5）A B，即积事件A等于事件B的对立事件B．

2．对任意的随机事件A,B,C，证明：P(AB) P(AC) P(BC) P(A)． 证明 因为A (AB AC)，所以

P(A) P(AB AC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(AB) P(AC) P(BC)

3．将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：

（1）A是任意3个盒子中各有1个球；（2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球． 解 1 P A

C4 3 2 14

121C4C3C3

33

3

2 P B 0.375，

C44

3

1

0.0625，

4

4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任

3 P C

0.5625．

意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0 , 1 , 2 , 3）．

解 （请自己作图结合图形阅读）一面涂有颜色的小立方体个数(8 8) 6=384， 其中8 8为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数．

二面涂有颜色的小立方体个数小立方体被重复计算2 次．

三面涂有颜色的小立方体个数：8（即大立方体顶点个数）． 0 面涂有颜色的小立方体个数 1000 8 8 6 所以k 0,1,2,3的概率分别为

p0 P{k 0} p2 P{k 2}

5121000961000

0.512; 0.096;

p1 P{k 1}

384100081000

0.384;

(8 4) 6

2

(8 4) 6

2

96，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类

8 512．

0.008.

p3 P{k 3}

5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求 线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．

解 设OC x, 则 CA 1 x,OB

. 三线段能构成三角形，应有 2

OB OC CA,OB CA OC, 12

x 1 x,

14

12

1 x x. 34.

1

即

解得 x

13

C点可在 [0,1] 上取，但构成三角形的点只能在 [,] 上取，故由几何概型可得所求概率为

44

3p 4

1

4 1． 12

6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：

2

（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；

（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．

解 （1）设Bi（i=0，1，2，3，4，5）表示1000个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡都是好灯泡，显然

100

P(B1i)

，6

P(ABi)

C1000 iC

100，

1000

5

100

100

100

100

100

100

P(A)

P(B(AB1C

C999C998C997C996C995i)Pi) 6(1000C100 C100 100 100 100 100

)i 0

10001000C1000C1000C1000C1000

1

6 1 0.9 0.8099 0.7287 0.6557 0.5857

0.78.

（2）根据贝叶斯公式：

P(B(B0)P(A|B0)

0|A)

P5

P(Bi)P(A|Bi)

i 0

C100

1000

C1001001000 C999 C100100100998 C997 C996 C100

995

0.214．

7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“· ”及“—”．由于通信系统受到干 扰，当发出信号“· ”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“· ”及“—”；又当 发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“· ”．求： （1）收报台收到信号“· ” 的概率； （2）收报台收到信号“—” 的概率；

（3）当收报台收到信号“· ”时，发报台确系发出信号“· ”的概率； （4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．

解 本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子．设A表示事件 “发出信号“ · ”，A表示事件发出信号“ — ”，B表示事件收到信号“ · ”，

B表示事件收到信号“ — ”

， 由题意可得 P(B|A) 0.8,P B|A 0.2,P B|A 0.9，P(BA) 0.1，

P(A) 0.6，P(A) 0.4，

于是根据全概率公式和贝叶斯公式

（1）P(B) P(A)P(BA) P(A)P(BA) 0.6 0.8 0.4 0.1 0.52 （2）P(B) P(A)P(BA) P(A)P(BA) 0.6 0.2 0.4 0.9 0.48 （3）P(AB)

P(A)P(BA)

0.8P(B)

0.6 0.52

0.9231，

（4）P(AB)

P(A)P(BA)

4 0.9P(B)

0.0.48

0.75．

8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到 达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时,求它 们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率． 解 设 甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x、y，则所有基本事件可表示为：

3

0 x 24,0 y 24，

而“不需等候空出码头”的事件A必需满足条件：

y x 1

，

x y 2

可以用图中阴影面积：

12

232

22

2

2

2

表示，所有基本事件的面积为242，所以

P A

23 222 24

2

0.879．

第二章 随机变量

一、填空题

27 2

1．设随机变量X的概率分布为：P X k c ,k 1,2,3，则c＝ ．

338

2．设随机变量X的概率密度为： kxb,

f(x)

0,

0 x 1,(b 0,k 0),

其他.

k

1

且P X 0.75，则k ，b

2

3．已知随机变量X的分布函数为：F(x) A Barctanx，则A

B =

1

；P X 1 0.5 ；概率密度f(x)

1

(1 x)

2

．

P X k a 4．设随机变量X的概率分布为：

k

k!

,k 0,1,2,3,…，其中 0为常数，则a＝

x

e

．

2

5．设随机变量X~N(10,0.02)，已知 (x)

12

e

x22

dx，

(2.5) 0.9938，则

X落在区间（9.95，10.05）内的概率为 0.9876 ．

1x

6．设平面区域D由曲线y 及直线y 0,x 1,x e所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D服

2

从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x 2处的值为 0.25 ．

二、选择题

（ B ）．

(A) 0 f(x) 1； (B) P{X x} F(x)； (C) P{X x} F(x)； (D) P{X x} f(x)．

1．设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为f(x),F(x)，则下列选项中正确的是

2．设f(x) cosx为随机变量X的概率密度，则随机变量X的可能取值充满区间 （ A ）．

7 3

(A) 0, ； (B) , ； (C) 0, ； (D) , ．

4 2 2 2

3．设随机变量X~N( , )，且P{X c} P{X c}，则c = ( B )．

2

4

(A) 0； (B) ； (C) ； (D) ．

4．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X 1} P{Y 1}

P{X 1} P{Y 1}

12

12

，

，则下列各式中成立的是 （ A ）．

(A) P{X Y}

12

； (B) P{X Y} 1；

14

(C) P{X Y 0} ； (D) P{XY 1}

14

．

x y

2

2

1

,

5．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)

0,

1,

其他.

则随机变量X与Y为 ( C )． (A) 独立同分布； (B) 独立不同分布； (C) 不独立同分布； (D) 不独立也不同分布．

三、计算与证明题

1．设F1(x),F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0,且a b 1. 证明aF1(x) bF2(x) 也是分布函

数．

证明 令 F(x) aF1(x) bF2(x),

（1） F( ) aF1( ) bF2( ) 0 0 0,

F( ) aF1( ) bF2( ) a b 1.

对任意x R, 有a 0 b 0 0 aF1(x) bF2(x) a 1 b 1 a b 1， 即 0 F(x) 1.

（2）对任意x0，F1(x0 0) F1(x0), F2(x0 0) F2(x0), 故

F(x0 0) aF1(x0 0) bF2(x0 0) aF1(x0) bF2(x0) F(x0). （3）对任意 x1 x2, F1(x1) F1(x2), F2(x1) F2(x2), 故

F(x1) aF1(x1) bF2(x1) aF1(x2) bF2(x2) F(x2).

所以，F(x) 满足分布函数的三个性质，故必为某随机变量的分布函数．

2．问c 应取何值，下列函数才能成为离散型随机变量的分布律．

cN

f (k) =

N

， k = 1, 2, ,N．

解 显然，f(k) 的值应是有限多或可列个，如果每个值都在[0,1]上，且和为1，则f(k)是分布律． 由

k 1

f(k) N

cN

1,

得 c 1． 3．一页书上印刷错误的个数服从参数 0.5的泊松分布．试求在一页书上印刷错误至少一个的概率．

解 设X为一页书上印刷错误的个数，则

P(X k)

e

12

2k!

一页书上印刷错误至少一个的概率为

k

, k 0,1,2,

P(X 1) 1 P(X 0) 1 e

0.5

0.3935.

4．设X在 [0, 5] 上服从均匀分布，求方程4t 4Xt X 2 0有实根的概率． 解 方程有实根的充要条件是判别式(4X) 4 4 (X 2) 0，解得

2

2

5

X 2 或 X 1，

注意到 X [0,5], 舍去X 1．所求概率为

P(X 2)

52

15

dt

35

．

5．某市南郊到北郊火车站有两条路可走，第一条路线路程较短，但交通拥挤，所需时间X服从N（50，100）；第二条路线路程较长，但交通不易阻塞，所需时间Y服从N（60，16）．若有70分钟可用，应该走哪条路线？

解 选择走哪条路线合理的原则是，在给定的时间内到达火车站的概率较大．走第一条路线所需时间

X服从N(50,102),所以

P(X 70) P(

X 5010Y 60

70 501070 60

) (

70 501070 60

) (2) 0.9772，

走第二条路线所需时间Y服从N(60,42),所以

444

可见P(Y 70) P(X 70), 故应走第二条路线．

P(Y 70) P(

) (

) (2.5) 0.9938,

6．一箱中有3个白球和3个黑球．作一系列的不放回取球，直至首次出现白球为止，设X 是取出的球数．接着继续取球，直至首次出现黑球为止，设Y 是第二个序列中取出的球数．试求（X，Y）的联合分布和边缘分布，X与Y是否相互独立？

解 (X,Y)是二维离散型随机变量，X可能取的值是1，2，3，4；Y可能取的值是0，1，2，3（在取黑球时，球最多可能是5个，2个白球，3个黑球，至多在第三次一定会取到黑球）．

3363233

， P(X 1,Y 2) ， 652065420321313323

P(X 1,Y 3) ， P(X 2,Y 1) ，

6543206542033222332121

P(X 2,Y 2) ， P(X 2,Y 3) ，

6543206543220P(X 1,Y 1) P(X 3,Y 1)

3231 65433232

P(X 3,Y 3)

6543

323211 ，

20654322011132131 ,P(X 4,Y 0) , 21206543201

， P(X 3,Y 2)

P(X 4,Y 1) P(X 4,Y 2) P(X 4,Y 3) 0， P(X 1,Y 0) P(X 2,Y 0) P(X 3,Y 0) 0．

(X,Y)关于X,Y的边缘分布分别为： P(X 1) P(Y 0)

1020

1

, P(X 2) , P(Y 1)

10

620

, P(X 3)

3206

, P(X 4)

1203;

, P(Y 2) , P(Y 3) .

20202020

因为 P(X 4,Y 2) P(X 4)P(Y 2)，所以X与Y不相互独立．

7．已知二维随机变量(X,Y)的密度函数为：

Ae (2x 3y),x 0,y 0;

f(x,y)

其他. 0,

（1） 求系数A；（2） 分布函数F(X,Y)； (3) 概率P(2X 3Y 6)．

解 （1）由

f(x,y)dxdy

0

Ae

(2x 3y)

dxdy

A6

1,

解得 A 6．

6

（2）当 x 0 或 y 0 时，F(x,y) 0. 当 x 0,y 0 时，F(x,y)

xy0

6e

(2x 3y)

dxdy (1 e

2x

)(1 e

3y

),

(1 e 2x)(1 e 3y),x 0,y 0;

故 F(x,y)

0,x 0或y 0.

（3） P(2X 3Y 6)

6e

2x 3y 6

(2x 3y)

dxdy 6 dx

3

2(3 x)30

e

(2x 3y)

dy

1 7e

6

0.9826.

x 0,y 0;其他.

2

,

8． 随机变量(X,Y)的联合密度为：f(x,y) (1 x y)3

0,

求X 1条件下Y的条件密度．

解 当 x 0 时，有 fX(x)

0

2(1 x y)

3

dy

1(1 x)

2

.

8

,y 0,f(1,y) 3

故 fY|X(y|x 1) (2 y)

fX(1) 0,y 0.

1

9．设随机变量X的密度函数为fX(x) ，求随机变量Y 1 2

(1 x)

3

X的密度函数fY(y)．

解 Y的分布函数

FY(y) P(Y y) P(1

3

X y) P(X 1 y)

P(X (1 y))

(1 y)3

dx

(1 x)2

1 3

( arctan(1 y))， 2

因此Y的密度函数为：

1 (1 y)

10．随机变量X,Y相互独立，其密度函数分别为 e y, 1,0 x 1,

fX(x) fY(y)

0,其他. 0,

求随机变量Z 2X Y的密度函数．

y 0,y 0.

fY(y) (FY(y))

3

(1 y)

26

．

解 因为X与Y相互独立，所以Z的密度函数为

fZ(z)

fX(x)fY(z 2x)dx

10

fY(z 2x)dx

0,z 0, 0,z 0,

2 (z 2x) 1 z edx,0 z 2, (1 e),0 z 2,

0 21

(z 2x) 12 zedx,z 2.(e 1)e,z 2. 0

2

11．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处．

7

一、填空题

1．设随机变量X的数学期望EX 2，方差DX 4，则EX2．

2．设随机变量X~B(n,p)，已知EX 1.6,DX 1.28，则参数n= 8 ，p= 0.2 ． 3．设随机变量X~P( )，且P{X 1} P{X 2}，则EX= 2 ，DX= 2 ． 4．设随机变量X的数学期望为 ，均方差 0，则当a=

E(a bX) 0,D(a bX) 1 ．

1

，b= 时，

5．设DX 4,DY 1, XY 0.6，则D(3X 2Y)． 6．设X~N( 1, 1),Y~N( 2, 2)，且X与Y相互独立，则 （1）X Y~N 1 2, 1

2

22

2

2

（2）2X 3Y~ ；

N(2 1 3 2,4 1 9

222

) ．

7．X1,X2,X3都服从[0, 2 ]上的均匀分布，则E(3X1 X2 2X3)= 4 ． 8． 设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4， 则X2的数学期望E(X2)

二、选择题

1．设X是随机变量，x0为任意实数，EX为X的数学期望，则 （ B ）．

2222

（A）E(X x0)=E(X EX)； （B）E(X x0) E(X EX)； 222

（C）E(X x0)<E(X EX)； （D）E(X x0)= 0.

2．人的体重为随机变量X，已知EX a,DX b，10个人的平均体重记为Y， 则下列结论正确的是 （ A ）． （A）EY a； （B）EY 0.1a； （C）DY 0.01b； （D）DY b．

3．随机变量X的EX,DX,EX都存在，则一定有 （ B ）． （A）EX 0； （B）DX 0； （C）(EX)

2

2

EX

2

； （D）EX

2

2

EX．

4．若随机变量X~N( , )，且EX 3,DX 1，则P{ 1 X 1}=（ B ）． （A）2 (1) 1； （B） (4) (2)； （C） ( 4) ( 2)； （D） (2) (4)．

5．若X与Y满足D(X Y) D(X Y)，则必有 （ B ）． （A）X与Y独立； （B）X与Y不相关； （C）DY 0； （D）DX DY 0．

8

6．若存在常数a,b(a 0)，使P{Y aX b} 1，且DX存在，则 XY为（ C ）． （A） 1； （B）-1； （C）

aa

； （D） XY 1．

7．设随机变量X和Y独立同分布，记U X Y,V X Y，则随机变量U与V必然 （ D ）．

（A）不独立； （B） 独立； （C）相关系数不为零；（D）相关系数为零．

三、计算题

1．设随机变量

X

的概率密度为

0 x 1, x,

f(x) 2 x,1 x 2,

0,其它.

10

21

求

E(X),D(X)．

解

E(X)

xf(x)dx

10

xdx

3

2

x(2 x)dx 1

，

EX

2

xf(x)dx

2

2

xdx

21

x(2 x)dx

2

76,

D(X) EX

[E(X)]

2

16

．

(X,Y)2．设的联合概率密度为

2 x y,

f(x,y)

0,

求

0 x 1,0 y 1,其它.

。

，

EX,DX,E(XY),Cov(X,Y), XY

E(X)

1

dx

xf(x,y)dy

512

，

9

解

10

xdx (2 x y)dy

EX

2

12

1

10

xdx 0

(2 x y)dy

4

，

所以

DX EX

2

(EX)

2

11144

，

又由对称性可知

EY

512

,DY

11144

.

EXY

1xdx

10

y(2 x y)dy

16

Cov(X,Y) EXY EX EY

1144

,

Cov(X,Y)XY

DX

DY

111

.

3．设随机变量X~P( )，且EX 0.8，令随机变量

10

,

10,X 1

Y 8,1 X 4

0,X 4 ，求EY

？

EX 0.8解 因为

e

0.8

X~P0.8，故，

P{Y 10} P{X 1} P{X 0} P{X 1}

0.8e

0.8

2

0.8

0.8088

0.8

3

P{Y 8} P{1 X 4} P{X 2} P{X 3} P{X 4}2!3!4!P{Y = 0} = 1 - 0.8088 - 0.1898 = 0.0014， 从而

e

0.8

e

0.8

0.8

4

e

0.8

0.1898,

．

4．对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间 [a, b] 内，求圆面积的数学期望． 解 设圆的直径为

EY 10 0.8088 8 0.1898 9.6

X

X

，则在 [a, b] 上服从均匀分布,概率密度为

f(x)

Y

设圆的面积为Y，则

1

,

b a 0,

x [a,b],其他,

4

X

2．

11

E(Y)

故，

ba

4

x

2

1b a

dx

12

(a ab b)

．

22

5．已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率．

解 设X为10000个新生婴儿中男孩的个数，则，其中n=10000，p=0.515，10000个新生婴儿中女孩不少于男孩，即

X~B(n,p)

X 5000

P 0 X 5000 P

0 npnp(1 p)

，由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，所求的概率为

5000 np

np(1 p)np(1 p) X np

0.515(1 0.515)

0 10000 0.515

0.515(1 0.515) 5000 10000 0.515

( 3) ( 103) 1 (3) 1 0.9987 0.0013.

6．设

Xi(i 1,2, ,10)

相互独立，且在（0, 1）上都服从均匀分布，

10

P Xi 6

的近似值． 试利用中心极限定理计算 i 1

解

2

由已知

2

，

E(Xi) 13

，

2

10

x d0.5x

，

E(Xi)

10

xdx

2

E(Xi) E(Xi)

2

13

14

112

，

由中心极限定理，得

12

P Xi 6 1 P i 1 i 1

10

1010

Xi n 6 n i 1

Xi 6 1 P

n n

10

Xi 10 0.5 6 10 0.5 6 10 0.5 i 1

1 P 1 11 1

1212 12

1 (1.095) 1 0.8643 0.1357

第四章 参数估计

一、填空题

．

n

1．若总体的分布函数为F(x)，那么样本（X1,X2, ,Xn）的分布函数F(x1,x2, ,xn)= F(xi) ，

i 1

设总体X~e( )

n

，试写出样本（

(x1 xn)

X1,X2, ,Xn

）的概率密度函数

ef(x1,x2, ,xn)=

,x1,x2, ,xn 0;

其他.

0,

．

2．设有样本值0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， 试用计算器计算= 0.5089 ，s．

2

3．设X1,X2, ,Xn为来自正态总体X~N( , )的一个简单随机样本，则样本均值X服从

2

13

2

N( ,

n

n

，则 aiXi )分布，若ai为常数（ai 0,i 1,2, ,n）

i 1

n

服从N ai,

i 1

n2

i 1

2

ai 分布．

4．总体X~N( , 2)，X是样本均值，S2是样本方差，n为样本容量，则常 用的统计量

U

X

n

~N(0,1)；T

X s

n

~t(n 1)；

2

(n 1)s

2

2

2

~ (n 1)．

5．设随机变量X1,X2,X3,X4独立且都服从N(0,1则(X1 X2)2 (X3 X4)2服从 2(2)分)，2

布，若要使aX1 b(X2 X3 X4)2~ 2(2)，则需a ，b=

2

23

．

3X1

X

22

6．设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，则

X1 X2X3 X4

22

22

服从

24

X3 X

2

t(3) 分布，服从F(2,2)分布．

7．已知来自正态总体X~N( ,0.92)容量为9的简单随机样本，样本均值

5，则未知参数 的置信度为0.95的置信区间是［4.412，5.588］ ．

二、选择题

1．设总体X~N( , 2)，其中 已知，而 2是未知的，X1,X2,X3是总体的一个样本，试问哪个不是统计量 （ C ）． （A）X

1

3

i

X 3

i 1

；（B）X1 X3 ；（C）

1

2

3

(X

i 1

i

（D） X)；

2

1

3

i

(X 3

i 1

X)．

2

2

2．设总体X~N(1,2)，X1, ,X100是来自总体X的样本，X为样本均值，已知

． Y aX b~N(0,1)，则有 （ A ）1111

（A）a 5,b 5；（B）a 5,b 5；（C）a ,b ；（D）a ,b ．

5555

3．设X1,X2, ,Xn为总体X的简单随机样本，EX ,DX ，X,S分别为样本均值及样本方差，则下列结论正确的是 （ B ）．

2

（A）X,S分别是 , 的无偏估计； （B）X,S分别是 , 的无偏估计；

22

2

（C）X,S分别是 , 的矩估计量； （D）X,S分别是 , 的极大似然估计量．

2222

三、计算题与证明题

1．从正态总体N(52,6.3)中随机抽取容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率．

2

6.3

解 X~N 52,36

2

N(52,1.052),

14

P{50.8 X 53.8} P{ 1.14

X 52

1.05

= (1.17) (1.14) 1 0.8293.

2

1.71} (1.71) ( 1.14)

10

2．从正态总体N( ,0.5)中抽取样本X1,X2, ,X10，已知 0，求概率P{ Xi 4}；（2）未

i 1

10

2

知 ，求概率P{ (Xi X)2 2.85}．

i 1

解 (1)

1

2

10

(X

i 110i 1

i

)

2

10.510.5

2

2102

10

X

i 110

2i

~ (10)，

40.5

2

2

2

P{ Xi 4} P{

(2)

10

i 1

i

Xi

16} 0.10(查表)．

2

1

2

10

(X

i 1

i

X)

2

10.5

(X

i 1

X)~ (9)，

P{ (Xi X) 2.85} P{

2

i 1

1

2

10

0.5i 1

0.25 (查表)．

(X

i

X)

2

2.850.5

2

11.4}

n 1

3．设X1,X2, ,Xn(n 2)为正态总体N( , )的一个样本，Q c (Xi 1 Xi)2为 2的无偏

2

i 1

估计，求c．

解 EX

1

EX

n

,DX

1

DX

n

,

2

因为Xi 1,Xi相互独立, 所以cov(Xi 1,Xi) 0,

n 1

EQ c E[(Xi 1 EX

i 1n 1

i 1

) (Xi EXi)]

2

2

i 1

c {E(Xi 1 EX

i 1n 1

) E(Xi EXi) 2cov(Xi 1,Xi)}

n 1

2

2

=c (DX

i 1

i 1

DXi) c 2

i 1

2(n 1) c ，

22

所以 c

12(n 1)

.

x 1

4．总体X服从几何分布，分布律为P{X x} (1 p)

p,x 1,2, ，其中p未知参数，且

0 p 1，设X1,X2, ,Xn为X的一个样本，求p的矩估计量和极大似然估计量．

解 (1) 因为E(X) E(X)

1p

k 1

kP{X k} 1n

n

k 1

kp(1 p)

k 1

1p

^

，所以，令

1X

n

X

n

i 1

Xi，得p的矩估计量为：p

n

．

n

（2）似然函数为：L(p)

P{X

i 1

Xi}

n

(1

i 1

p)

Xi 1

p p(1 p)i 1

Xi n

，

1 p)， 两边取对数 lnL(p) nlnp Xi n ln(

i 1

n

令

dlnL(p)

dp

np

X

i 1

i

n

^

1 p

0，得p的极大似然估计量为p

1X

．

15

5．总体X~N( , 2)，现从总体X中抽取容量为9的样本，经观测与计算得样本均值 20.1，样本均方差s 0.203．

（1）若已知 0.21，求 对应于置信度为0.95的置信区间． （2）若 未知，求 对应于置信度为0.95的置信区间． （3）若 未知，求 2对应于置信度为0.95的置信区间．

解 （1） 查标准正态分布表，得Z Z0.025 1.96，由样本观测值，得

2

X Z

2

n

20.1 1.96 20.1 1.96

0.2190.21

19.9628， 20.2372，

n9

故 对应于置信度为0.95的置信区间为［19.9628，20.2372］；

22

X Z

（2）查t分布表，得t (n 1) t0.025(8) 2.306，由样本观测值，得

X t (n)

2

sns

20.1 2.306 20.1 2.306

0.20390.203

19.944，

20.256，

n92

故当 未知时， 对应于置信度为0.95的置信区间为［19.944，20.256］；

X t (n)

（3）查 2分布表，得 (n 1) 0.025(8) 17.535，

2

22

21

2

(n 1) 0.975(8) 2.18，由样本观测值，得

2

2

(n 1)s

22

(n 1)

8 0.20317.535

2

0.0188，

(n 1)s

2

21

2

(n 1)

8 0.2032.18

2

0.1512，

故当 未知时， 2对应于置信度为0.95的置信区间为［0.0188，0.1512］．

6．为了检验一种杂交物的两种新处理方案，在同一地区随机的选择8块地段，在各试验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产量是（单位：公斤）： 一号方案：86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案：80 79 58 91 77 82 74 66

22

假设两种产量都服从正态分布，分别为N 1, ，N 2, ， 2未知，求 1 2的置信度为95％的置信区间．

解 本题是两个正态总体，已知 1 2，但其值未知，求期望差 1 2的置信区间，由给定的两组样本观测值，有

n1 8,x 81.625,s1 145.696，n2 8,y 75.875,s2 102.125，

sw

2

22

22

7 145.696 7 102.125

14

2

123.910， x y 81.625 75.875 5.75，

查t分布表，得 t (n1 n2 2) t0.025(14) 2.1448， 从而 t (n1 n2 2)sw

2

1n1

1n2

2.1448

11

.91 11.94，

88

故 1 2的置信度为95％的置信区间为：

x y ,x y 5.75 11.94,5.75 11.94 6.19,17.69 ．

第五章 假设检验

16