2018年度北京地区西城区第一学期期末高三学年数学(理)试题及答案解析

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北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2018.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A

B = （A ）{|13}x x -<<

（B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << （D ）{|23}x x <<

2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是

（A ）1y x =-+ （B ）|1|y x =- （C ）sin y x = （D ）1

2y x = 3．执行如图所示的程序框图，输出的

S 值为

（A ）2

（B ）6

（C ）30

（D ）270

4．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ

=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是

（A ）1

（B ）2 （C ）3 （D ）4

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5．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩

≥≥≥ 则2x y -的取值范围是 （A ）[0,2]

（B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]-

（D ）[0,)+∞

6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的

（A ）充分而不必要条件

（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件 7．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12

y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是

（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞- （C ）(1,)-+∞ （D ）(2,)-+∞

8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）

和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]

+-可以为 （参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）

（A ）

12 （B ）13 （C ）16 （D ）110

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第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在复平面内，复数

2i 1i -对应的点的坐标为____．

10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．

11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=

，△ABC ，则 c =____．

12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆

在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）

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13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的

部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何

体的表面积是____．

14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤

若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4

-，则实数c 的取值范围是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分） 已知函数2π()2sin cos(2)3

f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

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上的最大值．

（Ⅱ）求()

f x在区间π

[0,]

2

16．（本小题满分13分）

已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．

表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表

（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记

E X．

X为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X的分布列和数学期望()（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31

）．记表2

7

60中所有升旗时刻对应数据的方差为2s，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差

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为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.

过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若

23

BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.

18．（本小题满分13分）

已知函数()e sin 1ax f x x =⋅-，其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

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（Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>过点(2,0)A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形

PAMN 是平行四边形，求k 的值．

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20．（本小题满分13分）

数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =-．

对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,

,}i j s t n ∈且两两不相等． （Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2

（Ⅱ）记12n S a a a =+++．若3m =，证明：20S ≥；

（Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末

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