给出插值型求积公式可能的代数精度

第２６卷第５期０月２０１０年１

大　学　数　学

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　

Ｖｏｌ．２６，№．５

Ｏｃｔ．２０１０

插值型求积公式的代数精度

王　伟，　严志丹，　胡汉涛

（）塔里木大学信息工程学院，新疆阿拉尔８４３３００

摘　要］借助于勒让德多项式的零点性质，证明了Ｎ阶插值型求积公式的代数精度可取Ｎ到２Ｎ＋１　　［　

之间的任意整数值，计算得到了两点插值型求积公式的代数精度与求积节点位置的关系．简化了［中关于３１］次代数精度的条件的讨论．

［关键词］插值型求积公式；代数精度；勒让德多项式

［（）中图分类号］Ｏ文献标识码］Ｃ　　［文章编号］１２４１　　［６７２１４５４２０１００５０１６５０３－－－

］选取高斯点，得到的是具有最高Ｎ阶插值型求积公式的代数精度依赖于求积节点的选取．比如［２代数精度的高斯公式，其具有２Ｎ＋１次代数精度．而当节点取为等距形式时导致的所谓牛顿—柯特斯　其精度为Ｎ；当Ｎ为偶数时，其精度为Ｎ＋１．本文讨论对于任意固公式精度就较低．当Ｎ为奇数时，定的Ｎ，以及如何选取相应的求积节点．Ｎ阶插值型求积公式的代数精度的所有可能取值问题，

１　预备知识

］．用ｘ…，为了方便，且又不失一般性，本文假定求积公式的积分区间为［１ｘｘＮ表示－１，０，１，［］中互异的Ｎ＋１个求积节点，用１－１，

２］

（…（，我们知道［至多为ｗ（ｘ）＝（ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘＮ）．Ｎ阶插值型求积公式代数精度至少为Ｎ，０）１）

次代数精度的充要条件，此处我们２Ｎ＋１．下面的引理给出求积公式具有至少Ｍ（Ｎ≤Ｍ≤２Ｎ＋１）　　

ｘ）ｄｘ≈∑Ａｆ（ｘ）表示相应的插值型求积公式．记

∫ｆ（

１－

１

Ｎ

ｎ

ｎ

ｎ＝０

］给出与［不同的证明．２

［２］

引理１ｘ）与所有次数不超过　Ｎ阶插值型求积公式具有至少Ｍ次代数精度当且仅当ｗ（

即Ｍ－Ｎ－１的多项式ｑ（ｘ）均正交，

证　先证必要性．设

１

ｘ）ｗ（ｘ）ｄｘ＝０．

∫ｑ（

１－

１

Ｎ

ｎ

ｎ

的多项式都是准确成立的．而多项式ｑ（则ｘ）ｗ（ｘ）的次数至多为Ｍ，

具有至少Ｍ次代数精度，则公式对于次数不超过Ｍｘ）ｄｘ≈∑Ａｆ（ｘ）

∫ｆ（

１－

ｎ＝０

再证充分性．设ｆ（是任意次数不超过Ｍ的多项式，则由带余除法知，存在次数至多为Ｍ－Ｎ－１ｘ）的多项式ｑ（ｘ）及次数至多为Ｎ的多项式ｒ（ｘ）使得

ｘ）＝ｑ（ｘ）ｗ（ｘ）ｘ）．＋ｒ（ｆ（由已知条件

得到ｘ）ｗ（ｘ）ｄｘ＝０，

∫ｑ（

ｘ）ｄｘ＝ｑ（ｗ（ｘ）ｄｘ＋ｒ（ｄｘ＝ｒ（ｄｘ．

∫ｆ（∫ｘ）∫ｘ）∫ｘ）

１－

１

１

１

１

１－

１－

１－

１－

１

∫

１

Ｎ

１－

ｘ）ｗ（ｘ）ｄｘ＝ｑ（

ｎ＝０

ｘ）ｗ（ｘ）＝０．∑Ａｑ（

ｎ

ｎ

ｎ

（）１

收稿日期］２００８０３２７　［－－

）基金项目］塔里木大学质量工程项目（ＴＤＺＧＫＣ０９０８５　［

给出插值型求积公式可能的代数精度

因为Ｎ阶插值型求积公式具有至少Ｎ次代数精度，故

）进一步，由（式，可得１

１

ｘ）ｄｘ＝∑Ａｒ（ｘ）

∫ｒ（

１－

１

Ｎ

ｎ

ｎ

ｎ＝０

…，，ｘｘｎ＝０，１，Ｎ）　（＝ｒ（ｆ（ｎ）ｎ）

Ｎ

ｎ

ｎ

因此

ｘ）ｄｘ＝∑Ａｆ（ｘ）．

∫ｆ（

１－

ｎ＝０

推论１　Ｎ阶插值型求积公式具有Ｍ次代数精度当且仅当对于任何次数不超过Ｍ－Ｎ－１的多项恒有式ｑ（ｘ），

∫

１

１－

并且ｘ）ｗ（ｘ）ｄｘ＝０，ｑ（

∫

１

１－

ｗ（ｘ）ｘＭ－Ｎｄｘ≠０．

｝为首项系数为１的勒让德正交多项式族，记｛下面的引理给出了满足引理１中的ｗ（Ｐｘ）ｘ）的ｋ（构造．

引理２　ｗ（ｘ）与所有次数不超过Ｍ－Ｎ－１的多项式ｑ（ｘ）均正交的充要条件是存在一组实数，…，使得ａａａａ０＝１１，２，２Ｎ＋１－Ｍ，　

２Ｎ＋１－Ｍ　

ｗ（ｘ）＝

ｉ＝０

∑ａＰ

ｉ

Ｎ＋１ｉ－

（ｘ）．

…，证　ｗ（ｘ）与所有次数不超过Ｍ－Ｎ－１的多项式ｑ（ｘ）均正交等价于说ｗ（ｘ）与Ｐ０，Ｐ１，

｝是所有次数不超过Ｎ＋１的多项式构成的线性空间的一组ＰＭ－Ｎ－１正交．注意到｛Ｐ０≤ｋ≤Ｎ＋１ｋ｜…，｝的线性组合，正交基，故ｗ（ｘ）与Ｐ０，Ｐ１，ＰＭ－Ｎ－１正交等价于说ｗ（ｘ）是｛Ｐｋ｜Ｍ－Ｎ≤ｋ≤Ｎ＋１

注意到ｗ（故线性组合中ＰＮ＋１的系数ａｘ）的最高次项系数为１，０＝１．

推论２　ｗ（但ｗ（ｘ）与所有次数不超过Ｍ－Ｎ－１的多项式ｑ（ｘ）均正交，ｘ）与ｘＭ－Ｎ不正交的充，…，要条件是存在一组 …… 此处隐藏：1725字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……