4

y1 y2 4k2 2 y3 y4 2 2则 同理可得： k y1 y2 1 y3 y4 1

∵

y1 1 y2 1 y3 1 y4 1 y1y2 y3y4 y1 y2 y3 y4 2

1

y1 y2 y3 y4 4 4 k2 2 4 12，当且仅当k 1时，取等号．

k

∴ 的最小值为12． …………………………………………………（12分）

21．解（Ⅰ）∵f(x) lnx x2 x 2，其定义域为(0, )．

1分

1 2x2 x 1 (2x 1)(x 1)

∴f (x) 2x 1 ． （2分）

xxx

∵x 0，∴当0 x 1时，f (x) 0；当x 1时，f (x) 0． 故函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1, )． （4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1, )．

当0 a 1时，f(x)在区间(0,a]上单调递增，f(x)的最大值f(x)max f(a) lna a2 a 2； 当a 1时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，则f(x)在x 1处取得极大值，也即该函数在(0,a]上的最大值，此时f(x)的最大值f(x)max f(1) 2； lna a2 a 2,0 a 1,∴f(x)在区间(0,a]上的最大值f(x)max …………………（8分）

2,a 1.

（Ⅲ）讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数，即讨论方程f(x) g(x)在(0, )上根的个数．

该方程为lnx x2 x 2 x3 (1 2e)x2 (m 1)x 2，即lnx x3 2ex2 mx． 只需讨论方程令u(x)

lnx

x2 2ex m在(0, )上根的个数， ……………………（9分） x

lnx

(x 0)，v(x) x2 2ex m． x

1

x lnx

1 lnxlnx 因u(x) ，令u (x) 0，得x e， (x 0)，u (x) 22

xxx