第 8讲

曲线与方程

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考试要求

1.方程的曲线与曲线的方程的对应关系，A级要求；

2.解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质，A级要求；3.根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，B级 要求.

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知识梳理 1.曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f(x , y) =0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ，那么这个

方程叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线

.

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2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系.

(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4) 代换 —— 依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为x,y的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

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3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个

曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方 程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组 有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程

所组成的方程组的实数解问题.

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诊断自测 1.思考辨析(请在括号中打“√”或“×”)

(1) f(x0 , y0) = 0 是点 P(x0 , y0) 在曲线 f(x , y) = 0 上的充要条件. (2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线. ( √ ) ( ×) ( ×)

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.

(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.

( ×)

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2.设m>1,则关于x,y的方程(1-m)x2+y2=m2-1表示的曲线 是________.y2 x2 解析 原方程可化为 2 - =1, m -1 m+1 ∵m>1,∴m2-1>0,m+1>0, ∴表示焦点在 y 轴上的双曲线.

答案 焦点在y轴上的双曲线

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3.(2015·焦作模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是 圆的切线，且PA=1,则P点的轨迹方程为________.

解析 由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 2,∴P 的轨迹方程 为(x-1)2+y2=2.答案 (x-1)2+y2=2

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4.(2015·枣庄一模)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上 的中线长CD=3,则顶点A的轨迹方程

为_________.解析 法一 直接法.设 A(x,y),则 ∴CD= x -5 2+ 2 x y D , , 2 2

y2 4 =3,

化简得(x-10)2+y2=36,由于 A、B、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在 x 轴上，即 y≠0.

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法二

定义法.如图所示，设A(x,

y) , D 为 AB 的中点，过 A 作 AE∥CD交x轴于E. ∵CD = 3 , ∴ AE = 6 , BE = 10 ,则 E(10,0). ∴ 顶点 A 的轨迹为以 E 为圆心， 6 为

半径的圆，即(x-10)2+y2=36,又A、B、C三点构成三角形，∴A点的 纵坐标 y≠0 ,故顶点 A 的轨迹方程 为(x-10)2+y2=36(y≠0). 答案 (x-10)2+y2=36(y≠0)基础诊断 考点突破 课堂总结

5.已知⊙O方程为x2+y2=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A、B

两点，则弦AB中点P的轨迹方程为_________.

解析 根据垂径定理知： OP⊥PM,∴P 点轨迹是以 OM 为直径的圆在⊙O 内的部分， 以 OM 为直径的圆的方程为 (x-2)2+y2=4,它与⊙O 的交点为(1,± 3), 结合图形可知所求轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x<1).答案 (x-2)2+y2=4(0≤x<1)基础诊断 考点突破

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考点一 直接法求轨迹方程 【例1】 (2013·陕西卷选编 )已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上 截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程.

解 如图，设动圆圆心为O1(x,y),由题意，O1A=O1M, 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN 交MN于H,则H是MN的中点.

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∴O1M= x2+42, 又 O1A= x-4 2+y2, ∴ x-4 2+y2= x2+42,化简得 y2=8x(x≠0). 当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x.

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规律方法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等 量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简 记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后

的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.

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【训练 1】 (2015· 南通模拟选编)在平面直角坐标系 xOy 中，已 知定点 F(1,0),点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，点 N 为 →· → =0,PM → +PN → =0. 平面内的动点，且满足PM PF 求动点 N 的轨迹 C 的方程.

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解 设点 N(x,y),M(a,0),P(0,b). → +PN → =0 可知，点 P 是 MN 的中点， 由PM a+x=0, 2 所以 0+y =b, 2 a=-x, 即 y b= , 2 y M(-x,0),P 0, . 2

所以点

y → y → 所以PM= -x,

- ,PF= 1,- . 2 2 2 y → → 由PM· PF=0 可得-x+ =0,即 y2=4x. 4

所以动点 N 的轨迹 C 的方程为 y2=4x.基础诊断 考点突破 课堂总结