高中数学放缩技巧(4)

（1）试求an 1与an的关系，并求 an 的通项公式； （2）当a 1,a 1时，证明

1 (a

n

顺利解决原不等式.其基本原理为:

欲证明A f(x) B,只要证明:A C f(x) B C(C 0,A B).

例61 已知数列{an}满足:a 1,a a 1,求证:2n 1 an 3n 2(n 2).

1n 1n

an

2

k

ak 1)ak 2

k 1

1；

32

n1 （3）当a 1时，证明 (ak ak 1)ak 2 .

k 1

引申:已知数列{an}满足:a 1,a a 1,求证: n1

1n 1n aa

n

k 1

3

解析:an a(

a12n 1

)（过程略）. a

2n 1

.

k

年浙江高考试题)已知数列 a ,an 0,a1 0,a2 a 1 a2(n N ).

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：

i 1 2；

i1

i

n 1

1 xdx ln 1 i n ln

1 i 1 ；

i

in 1n

n

；

sin i i 1

sin i

i ④(a

a)a2

1k

k 1k 1

ak

ax2dx

3

a33

. k 1

k ak 1 十二、部分放缩(尾式放缩) 例56 求证:

13 1 13 2 1 14

3 2n 1

1 7

例57 设an 1 12a 13

a

1na,a 2.求证：an 2.

例58设数列 a2

n 满足an 1 an nan 1 n N ，当a1 3时证明对所有n 1, 有(i)an n 2；

(ii)1111

1 a 11 a21 an2

P

十三、三角不等式的放缩 例59 求证:|sinx| |x|(x R).

O

T

B

十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强

对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)

进行加强.如要证明f(x) A,只要证明

f(x) A B(B 0),其中B通过寻找分析,归纳完成.

例60 求证:对一切n(n N*),都有 n

1 3.

k 1

kk

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而

4

nn 1n 1n记Sn a1 a2 an,

T1n

1 a 1a 1

.求证:当n N 时. 1(1 1)(1 a2)(1 a1)(1 a2) (1 an)

(1)an an 1; (2)Sn

n 2;

★(3)Tn 3.

例62 已知数列{an}的首项a

3,an,n 1，2，． 1

5

a

n 1

32an 1

(1)证明:对任意的x 0,a1 2n

≥11 x

(1 x) x ,n 1，2，2; 3n

(2)证明:2

a a2 an

n1.

n 1

十四、经典题目方法探究

年福建省高考)已知函数f(x) ln(1 x) x.若f(x)在区间[0,n](n N*)上的最小值为bn,令

an ln(1 n) bn.求证:a1a a1 a3 a a1 a3 a5 a2n 1 a 2an 1 1.

2a24a2 a46 a2n

年全国二卷)设函数f(x) sinx.如果对任何x≥0，都有f(x)2 cosx

≤ax，求a的取值范围．

变式：若0 x,3, ,n且0 a 1

i arccos3a,其中i 1,23

,x1 x2 x3 xn arccos3a,求证:

tan

x12 tanx22 tanx32 tanxn3a

2 2

arccos3a. 年全国一卷)已知函数 f(x) 1 x1 x

e ax.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.