高中数学放缩技巧

高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩 （3）求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1

2

2 4

2 4 6

2 4 6 2n

（4）求证：2(n 1 1) 1 1 1 1 (2n 1 1)

技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩

例1（1）求 n2的值; （2）求证:n

15. k 14k2 1 2

k 1k3

奇巧积累:（1）1 4 4 2

11

（2）1211 n24n24n2 1 2n 1 2n 1

C12

n 1Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

（3）T

1n

r

n! 1 1 1 1r 1

Crn

1 1

rr(r 2) r!(n r)!nr!r(r 1)r （4）(1 1n)n 1 1 12 1 13 2 1n(n 1) 52

（5）

1 11

（6）

1

2n

(2n

1)2n 1 2

n

n 2

n 2 n （7）2(n 1 n)

1 2(n n 1)

（8）

21n

2n 1 2n 3 1112

n

(2n 1) 2n 1 (2n 3) 2n （9）1 11 111 11 k(n 1 k) n 1 k k n 1,n(n 1 k) k 1 n n 1 k

（10）

n11 （11）

(n 1)! n!

(n 1)!

1 2(2n 1 2n 1)

2n 1 2n 1

2n

12 n 12

（12） 2n2n2n2n 1

(2n 1)2 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 2) (2n 1)(2n 1

1) 11 2n 1 1 2n 1(n 2) （13）

11

n3

1n n2

n(n 1)(n 1) 11

n(n 1)n(n 1) 1 n 1 n 1

11 n 1 n 1

11

1

1

2n

n 1 1

（14）n

n

2n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2n 1) 2n 2n 1 2 1

23

2n

1

3

（15）

k 211 （16）

1

k! (k 1)! (k 2)! (k 1)!

(k 2)!

n n 1(n 2) n(n 1)

（17） i2 1 j2

122

i ji j 1

i j

(i ji2

1

j2

1)

i2

1

j2

1

例2（1）求证:1 113

2 15

2

(2n 1)

2

76 1

2(2n 1)(n 2) （2）求证:14

116

136

14n

2

12

14n

例3 求证:6n2n 1) 1 14 115

9

(n 1)(n2 3

例4 设函数f(x) x xlnx.数列 an 满足0 a1 1.an 1 f(an).设b (a1，1)，整数k≥a1 b.证明:ak 1 b.

a1lnb

例5 已知n,m N ,x 1,Sm 1m 2m 3m nm,求证: nm 1 (m 1)Sm 1n (n 1) 1.

例6.已知ann

n 4 2n,T

2n

,求证:a1 a2 aT1 T2 T3 Tn

3.

n

2

例7 已知x1 1,x n(n 2k 1,k Z)n

,求证:

n 1(n 2k,k Z)

11 x x 1

2(n 1 1)(n N23x4 x5x2nx*)

2n 1

二、函数放缩

例8 求证：ln2n

ln3 ln4 ln3 3n 5n 6(n N*2

3

4

3

n

6

).

例9 求证:(1) 2

2,ln2 ln3 lnn 2n n 12 3 n

2(n 1)

(n 2)

例10.求证:12

13

1n 1

ln(n 1) 1 12

1n

例11 求证:(1 1)(1 1) (1 1) e和(1 1181) (1 1

. 2!

3!

n!

9)(1

3

2n) e

例12 求证:(1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3

例13 证明:ln2 ln3 ln4lnnn( 3

4

5

n 1 n 1)

4

(n N*,n 1)

例14 已知a

1

1,an 1 (1

11证明n2

n)an 2

n.

an e2.

例15 已知函数f(x)是在(0, )上处处可导的函数,若x f'(x)

f(x)在x 0上恒成立.

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