高中数学放缩技巧(2)

（1）求证：函数

g(x)

f(x)

在(0, )x

上是增函数；

五、迭代放缩

例25 已知x

例26. 设S

六、借助数列递推关系

n

（2）当x1 0,x2 0时,证明:f(x1) f(x2) f(x1 x2)； （3）已知不等式ln(1 x) x在x 1且x 0时恒成立，

例16 已知函数f(x) xlnx.若a 0,b 0,证明:f(a) (a b)ln2 f(a b) f(b).

n 1

xn 4n

,x1 1,求证:当n 2时, |xi 2| 2 21 n xn 1i 1

sin1!sin2!sinn!

1 2 n,求证:对任意的正整数222

1

k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<

n

三、分式放缩

姐妹不等式:ba

b ma m

(b a 0,m 0)和ba

b ma m

(a b 0,m 0)

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19 姐妹不等式:(1 1)(1 1)(1 1) (1

1) 2n 1和(1 11也可以表示成为 3

5

2n 12)(1 14)(1 16) (1 12n) n 1

2 4 6 2n

和1 3 5 (2n 1)1

1 3 5 (2n 1)

2n 1

2 4 6 2n 例20 证明:(1 1)(1 14)(1 17) (1 1

3n 2

) 3n 1.

四、分类放缩

例21 求证:1 1 1

12

3

n

1 n

2 2

例22 在平面直角坐标系xoy中, y轴正半轴上的点列 An

与曲线y 2x（x≥0）上的点列 B n 满足

OA1，直线n n

AB的横坐标为n

nn在x轴上的截距为an.点Bnb n,n N .

（1）证明an>an 1>4，n N ;（2）证明有n 0 N，使得对 n n0都有b2b b3 bn bn 1<n 2008.

1

b2

bn 1

bn

例23 已知函数f(x) x2 bx c(b 1,c R)，若f(x)的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列{bn}满足b

n

f(n)

3(n N*)，记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数n都有n

Tn A？

并证明你的结论。

例24 设不等式组

x 0,表示的平面区域为D y 0,

n

,设D内整数坐标点的个数为n

an.设

Sn

1 a

1

1,

n 1

an 2

a2n

y

nx 3n当n 2时,求证:1 1 1 1 7n 11.

a1

a2

a3

a2n

36

2

例27 求证:12

1 32 4

1 3 52 4 6

1 3 5 (2n 1)2 4 6 2n

2n 2 1

例28 求证:1 1 3 1 3 5

3 5 (2n 1)

2

2 4

2 4 6

1 4 6 2n

2n 1 1

2

例29 若a1 1,an 1 an n 1,求证:1

1a 1

2( 1 1) a1

2an

七、分类讨论

例30 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n 1.证明：对任意的整数

m 4，有

1a 1a 1 7 45am8

八、线性规划型放缩

例31 设函数f(x) 2x 1.若对一切x R， 3 af(x) b 3，求a b的最大值。

x2 2

九、均值不等式放缩

例32 设Sn 2 2 3 n(n 1).求证n(n 1)

(n 1)2

2

S

n

.

2

例33 已知函数f(x)

1，若1 a 2bxf(1)

4，且f(x)在[0，1]上的最小值为1， 5

2求证：f(1) f(2) f(n) n

12

n 1

12

.

例34 已知a,b为正数，且1 1 1，试证：对每一个n N ，(a b)n an bn 22n 2n 1.

a

b

n 1 例35 求证C1 C23nn

n

Cn

Cn

n 2

2

(n 1,n N)

例36 已知f(x) ex

e x

n,求证:f(1) f(2) f(3) f(n) (e

n 1

1)2