高中数学放缩技巧(3)

例37.已知f(x) x 1,求证:f(1) f(2) f(3) f(2n) 2n(n 1)n

x

.

例38 若k 7,求证:S11n n

1n 1

1n 2

nk 1 3

2

.

例39 已知f(x) a(x x1)(x x2),求证:f(0) f(1) a2.

16

.

例40 已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,

求证: [f’(x)]n－2n－

1·f’(xn)≥2n(2n－2).

例41已知函数f(x) ax x(a 1)

（1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；

（2）令S(n) C1'2'n 1'nf(1) Cnf(2) Cnf(n 1)求证：S(n) (2n 2) f'(n)

2

例42 已知函数f

x x 0, .对任意正数a,证明：1 f x 2．

例43 求证:1

111 n 1 n 2 3n 1

2十、二项放缩

2n

(1 1)n

C0 C1 Cn,2n

C0 C1n

n

n

n

n

n 1,

2

2n C0n C1n C2n

n n 2 2

2n n(n 1)(n 2)

例44 已知a11 1,an 1 (1 n2

n)a1

2n 2

n.证明an e

例45 设a

n

(1 1

)n

，求证：数列{aan 4.

n

n}单调递增且

例46 已知a+b=1,a>0,b>0,求证：an bn 21 n.

例47 设n 1,n N，求证(2)n

8. 3

(n 1)(n 2)

例48 求证:ln3 ln2 ln(1

1ln2. n2n)

n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例49 已知函数y f(x),x N*,y N*，满足：

①对任意a,b N*,a b，都有af(a) bf(b) af(b) bf(a)； ②对任意n N*都有f[f(n)] 3n.

（1）试证明：f(x)为N*

上的单调增函数；

（2）求f(1) f(6) f(28)； （3）令an*1n f(3),n N，试证明：.

n4n 2≤1a 1

1a 2

a 1 n4

例50 已知函数f x 的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x [0,1]，总有f x 3，且f 1 4； ② 若x

1

0,x2 0,x1 x2 1,则有

f x1 x2 f x1 f(x2) 3.

（1）求f 0 的值；

（2）求证：f x ≤4； （3）当x (1,

1

时，试证明：f(x) 3x 3.

3n3n 1

](n 1,2,3, )例51 已知：a1 a2 an 1,ai 0 (i 1,2 n) 求证：a22

1aa22

n 1

an1 a a 2

12a2 a

3

a

n 1 anan a12

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小

保号性是指，定义在 a,b 上的可积函数f x 0，则 ba

f x

dx

0.

例52

求证： e e .

利用定积分估计和式的上下界

定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.

例53

求证：121

， n 1,n N .

例54 已知n N,n 4.求证：1n 1 1n 2

1n 3

12n 710

.

例55 设a 0，如图，已知直线l:y ax及曲线C：y x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0 a1 a）.从C上的点Qn n 1 作直线平行于x轴，交直线l于点Pn 1，再从点Pn 1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn 1.Qn n 1,2,,n

的横坐标构成数列 an .

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