第五章 离散时间随机信号(Discrete-Time Random Signal)

主要内容：5.1引言 5.2随机变量的描述 5.3离散随机过程 5.4时间平均 5.5相关序列和协方差序列的性质 5.6功率谱 5.7离散随机信号通过线性非移变系统

5.1引言(Introduction) 离散随机信号可分成两大类： 离散时间确定信号和离散时间随机信号

5.2随机变量的描述(The Distription of Random Variables) 5.2.1概率分布函数单个随机变量X 的概率分布函数定义为： 它的取值不超过某个特定值 X 的概率，即：Px ( X ) x X

的概率

如果x 是连续随机变量，x 的概率密度函数 定义为：Px ( X ) px ( X )dX

或 px ( X )

如果x 是离散随机变量， x 的概率质量函数 定义为：Px ( X ) x X 的概率

Px ( X ) X

概率质量函数与概率分布函数的关系为：Px ( X ) x X

p (X )x

5.2.2均值随机变量x的均值(数学期望)定义为：mx E x xpx ( x)dx

或 mx E x xpx ( x)x X

X 式中， 是x 的离散值域， p x ( x) 是概率质量函数。

mx表示随机变量x的统计平均或集合平均，简称均值。

5.2.3均值的性质1、E x y E x E y 2、E ax aE x 3、对于线性独立的两随机变量x和y有：E xy E x E y

5.2.4方差随机变量x的方差定义为：2 x2 E ( x E x ) 2 E ( x mx ) 2 x2 E x 2 mx

E x x2 px ( x)dx 其中 2

或

E x 2 x 2 p2 ( x) x X

称为随机变量x的均方值。

5.3离散随机过程(The Discrete Random Process)

5.3.1离散随机过程由无限多个随机变量构成的一个时间序列

xn ( n )

5.3.2联合概率分布函数设 xn 和 xm是离散随机过程 xn ( n ) 中在两个不同时刻n和m上的随机变量，定义联合概率 分布函数如下：

Pxn , xm ( X n , n, X m , m) xn X n同时xm X m 的概率 ( 如果 xn 和 xm 是离散随机变 xn,xm) 的联合质量布函 数定义为：

Pxn , xm ( X n , n, X m , m) xn X n同时xm X m 的概率 如果一个随机过程在不同时刻的随机变量互不影响， 则称诸随机变量是统计独立的。此时有：

Px , x ( X n , n, X m , m) Pxn ( X n , n)Pxm ( X m , m)

5.3.3随机过程的数字特征(均值、方差和均方值)对于狭义平稳随机过程，其数字特征与时间n无关，即 对于所有的n,有： mxn 2 n

xp( x, n)dx mx

E x x2 pxn ( x, n)dx E x2

( x m)2 px ( x, n)dx2 xn n

以上公式均是与时间无关的常量

。

5.3.4自相关序列随机过程 x r 的自相关序列定义为： Rxx (n, m) E x x X n X m pxn , xm ( X , n, X , m)dX n dX m n m

式中，星号*表示复共轭。

5.3.5互相关序列随机过程 x n 和 yn 的互相关序列定义为：

Rxy (n, m) E xn y xy pxn , ym ( x, n, y, m)dxdy m

式中 Pxn , ym ( x, n, y, m)是 xn 和 ym 的联合概率密度函数。

5.3.6自协方差序列随机过程 xn 的自协方差序列定义为

Cxx n, m E xn mxn

x

mxm m

5.3.7 互 协 方 差 序 列 随机过程 xn 和 y 的互协方差序列定义为：n

Cxy n, m E xn mxn

y

mym m

5.3.8 狭义平稳随机过程两随机变量的联合概率密度函数只与它们的时间 时间差有关，而与时间起点无关，自相关序列、自协 方差序列以及互相关序列和互协方差序列只是 时间差的函数而与时间起点无关。

pxn X n , n pxm X m , m px X pxn , xm X n , n, X m , m pxn k , xm k X n k , n k , X m k , m k

5.3.9 广义平稳随机过程 概率分布函数或概率密度函数是随时 间变化的，联合概率密度函数也与时间起 点有关，其均值是常数(与时间无关),自 相关序列只与时间差有关而与时间起点无 关。简称为平稳随机过程或平稳过程。

5.4时间平均(Time-mean)5.4.1 遍历性随机过程 一个平稳随机过程，它的一个取样序列的 时间平均等于它的集合平均。