高等工程数学复习资料

考试样题

课程名称：应用高等工程数学（矩阵论、数理统计） 考生姓名

1、设A 是n 阶可逆矩阵，||x ||v 是C n 上的向量范数，证明 ||x || = ||Ax ||v 也是C n 上的向量范数.

2、设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000c c c c c c A ， (1)试确定c 的范围，使A 为收敛矩阵，即

∞

→n lim A n

= O ；

(2)证明(1)确定的c 可使方阵幂级数∑∞

=0

k k

A 收敛并求该幂级数的和.

3、求将向量x = [1，2，2]T 变换为向量y = [3，0，0]T

的Householder 矩阵H ，并求||H ||2和cond 2(H )。

4、设矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=022122113A ,求sin(πA ). 5、求方阵A 的Doolittle 分解，其中

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=41

00

331002210011A . 6、设总体X 的期望E X = μ，方差D X = σ 2，(X 1，X 2，…，X n )是取自该总体的样本。对样本作变换：Y i = aX i +b ，i =1,2,..,n ，Y 和S Y 2分别为变换后的样本均值和样本方差，试求E Y 、D Y 和E S Y 2.

7、设(X 1，X 2，X 3)是取自总体N (0，3)的样本，T 1 = X 1+X 2+X 3 ；(X 1，X 2，…，X 5)是取自总体N (0，5)的样本，T 2 = X 12+X 22+…+X 52.

(1)求常数a ，b ，使a T 12 + b T 2服从χ2分布，并指出其自由度； (2)求常数c ，d ,使

2

1

dT cT 服从t 分布，并指出其自由度.

8、设(X 1，X 2，…，X n )是取自总体N (0，

σ 2 )的样本，若取∑=-=n

i i

X X

k 1

22

)(ˆσ

作为未

知参数σ 2的估计量，问：

(1) k 为何值时2ˆσ

是σ 2的无偏估计； (2) k 为何值时2

ˆσ

的均方误差最小. 9、某厂在质量检查中，随机地抽取了50匹布，记录下它们的疵点数如下：

疵点数

0 1 2 3 ≥4 频数

21 18 7 3 1

(1)问在显著水平α = 0.05下，能否认为每匹布上的疵点数服从泊松分布P(λ )？

(2)如果对(1)的回答是肯定的，试给出λ 的95%置信区间.

10、为检查三种不同的教学方法的效果，随机地选取了水平相当的15名学生，将他们分成三组，分别用这三种方法教学，然后进行统考，成绩如下(单位：分)：

方法

成绩

甲 75 72 71 58 73 乙 73 79 62 75 81 丙

81 85 68 92 90

假定成绩服从正态分布，试在显著水平10%下检验三种教学方法的效果有无显著差异.

参考上侧分位点：

χ20.05(3)=7.81, χ20.05(4)=9.49, χ20.05(5)=11.07,

F 0.1(2,13)=2.763, F 0.05(2,13)=3.806

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重点习题

矩阵论

习题2.1：2，3；习题2.2：2，4，5；习题2.3：1；习题2.4：1，2 习题3.1：2；习题3.2：3；习题3.3：1

习题4.1：2，3；习题4.2：2，3；习题4.3：2

习题5.1：2，4；习题5.2：1，2；

数理统计

习题1：1，6，8，13，15；

习题2：3，7，8，14；

习题3：2，4，6，13，16；

习题4：1，3，6。