高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1

时间：2025-03-07

高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1_1

3.4 生活中的优化问题举例

第1课时变化率问题、导数的概念

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P 101～P 104的内容，回答下列问题．

某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml 溶液的圆柱形易拉罐．

(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？

提示：计算出圆柱的表面积即可．

(2)如何制作使用材料才能最省？

提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表

面积S ＝2πx 2＋1 000x

(x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可． 2．归纳总结，核心必记

(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

(2)解决优化问题的基本思路

[问题思考]

在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．

[课前反思]

(1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？

；

(2)解决优化问题的基本思路是什么？

．

高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1_1

讲一讲

1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2

)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．

(1)将S 表示为θ的函数；

(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．

[尝试解答] (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，

AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．

则S ＝12MB ·AB ＝12

×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．

(2)S ′＝5 000(2cos 2

θ＋cos θ－1)

＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，

得cos θ＝12

或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3

. 当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：

所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京

高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1_1

路一边l 的距离为150 m.

(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．

(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．

练一练

1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2

)最大，试问x 应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．

由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2

＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，

所以当x ＝15时，S 取得最大值．

(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．

由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.

当x ∈(0，20)时，V ′＞0；当x ∈(20，30)时，V ′＜0.

所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12

讲一讲