高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1

发布时间：2024-11-18

高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1_1

3.4 生活中的优化问题举例

第1课时变化率问题、导数的概念

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P 101～P 104的内容，回答下列问题．

某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml 溶液的圆柱形易拉罐．

(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？

提示：计算出圆柱的表面积即可．

(2)如何制作使用材料才能最省？

提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表

面积S ＝2πx 2＋1 000x

(x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可． 2．归纳总结，核心必记

(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

(2)解决优化问题的基本思路

[问题思考]

在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．

[课前反思]

(1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？

；

(2)解决优化问题的基本思路是什么？

．

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讲一讲

1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2

)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．

(1)将S 表示为θ的函数；

(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．

[尝试解答] (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，

AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．

则S ＝12MB ·AB ＝12

×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．

(2)S ′＝5 000(2cos 2

θ＋cos θ－1)

＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，

得cos θ＝12

或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3

. 当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：

所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京

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路一边l 的距离为150 m.

(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．

(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．

练一练

1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2

)最大，试问x 应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．

由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2

＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，

所以当x ＝15时，S 取得最大值．

(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．

由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.

当x ∈(0，20)时，V ′＞0；当x ∈(20，30)时，V ′＜0.

所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12

讲一讲

2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每

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年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5

(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k 的值及f (x )的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．

[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为x cm ，每年能源消耗费用为C (x )＝k

3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，

因此C (x )＝403x ＋5

. 而建造费用为C 1(x )＝6x .

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×

403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400

（3x ＋5）2，令f ′(x )＝0，

即 2 400

（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5，x ＝－253

(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0，

当5<x ≤10时，f ′(x )>0，

故x ＝5是f (x )的最小值点，

对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5

＝70. 所以，当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．

实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．

练一练

2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？

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解：设燃料费y ＝kv 3，因为当v ＝10时，y ＝6，∴k ＝

3500，∴y ＝3500

v 3. ∴每千米总费用：S ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3500v 3＋96＝3500v 2＋96v ， S ′＝3250v －96v 2. 令S ′＝0得v ＝20，

当v ∈(0，20)时，S ′<0；

当v ∈(20，＋∞)时，S ′>0.

∴v ＝20 km/h 是S 的极小值点，也是最小值点，

∴v ＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少．

知识点3 利润最大问题

讲一讲

3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32

(x ∈N *)． (1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；

(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？

[尝试解答] (1)因为次品率p ＝3x 4x ＋32，所以当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32

件次品，有x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－

3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32 ＝25·64x －x 2x ＋8

(x ∈N *)． (2)T ′＝－25·（x ＋32）（x －16）（x ＋8）2，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)．

当0<x <16时，T ′>0；

当x >16时，T ′<0;

所以当x ＝16时，T 最大，

即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．

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解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

练一练

3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格

x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3

＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a 的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2

＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y ＝2

x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润

f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2x －3＋10（x －6）2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2

，3＜x ＜6.

从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]

＝30(x －4)(x －6)．

于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

——————————————[课堂归纳·感悟提

升]——————————————

1．本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)利用导数解决面积、体积的最值问题，见讲1；

(2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题，见讲2；

(3)利用导数解决利润最大问题，见讲3.

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3．在利用导数解决生活中的优化问题时，要注意函数的定义域应使实际问题有意义，这也是本节课的易错点

课时达标训练（十九）

[即时达标对点练]

题组1 面积、体积的最值问题

1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，

∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝12πr 2l －2πr 3⎝

⎛⎭⎪⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，

令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l 6

，而r >0， ∴r ＝l 6是其唯一的极值点．当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π. 2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )

A ．6 cm

B ．8 cm

C ．10 cm

D ．12 cm

解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积V cm 3.由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －24)(x －8)，令V ′＝0，得x ＝8或x ＝24(舍去)．

当x ∈(0，8)时，V ′>0；当x ∈(8，24)时，V ′<0.

∴当x ＝8时，V 取得最大值．

题组2 成本最低(费用最省)问题

3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )

A ．6 m

B ．8 m

C ．4 m

D ．2 m

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解析：选C 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664

＝4(m)． 4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总

存储费为12

x 2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝2 000x

，总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋12x 2＝8 000x ＋12

x 2，令f ′(x )＝x －8 000x 2＝0，解得x ＝20. 且当0<x <20时f ′(x )<0，当x >20时f ′(x )>0，故x ＝20时，f (x )最小．答案：20

5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/

时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数是P ＝119 200v 4－1160

v 3

＋15v ，

(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

解：(1)Q ＝P ·400v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52

v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216

－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0<v <80时，Q ′<0；

当80<v ≤100时，Q ′>0，

∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003

(元)．题组3 利润最大问题

6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y

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＝－13

x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件

解析：选C 因为y ′＝－x 2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，

所以函数y ＝－13

x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．

7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )

A ．30 元

B ．60 元

C ．28 000 元

D ．23 000 元

解析：选D 设毛利润为L (p )，由题意知

L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)

＝(8 300－170p －p 2)(p －20)

＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，

所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.

令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．

此时，L (30)＝23 000.

因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，

所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．

8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．

解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．

答案：0.032

9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(8≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．

(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 之间的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值．解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 之间的关系为：

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L (x )＝(x －3－4)(12－x )2＝(x －7)(12－x )2，

即L (x )＝(x －7)(12－x )2

，其中x ∈[8，11]．

(2)由于L (x )＝(x －7)(12－x )2，

∴L ′(x )＝(12－x )2＋(x －7)·2(12－x )·(－1)

＝(12－x )(12－x －2x ＋14)＝(12－x )(26－3x )，

令L ′(x )＝0得x ＝12或x ＝263

，由于x ∈[8，11]，所以取x ＝263，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，263时，L ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤263，11时，L ′(x )<0，所以当x ＝263

时，L (x )在[8，11]上取到极大值，也是最大值， L ⎝ ⎛⎭⎪⎫263＝50027

(万元)．故当每件售价为263元时，公司一年的利润L 最大，最大利润是50027

万元． [能力提升综合练]

1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )

A ．2和6

B ．4和4

C ．3和5

D ．以上都不对

解析：选B 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．

2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V

解析：选C 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x

2＝43V 3x 2. ∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43V x ， S ′(x )＝3x －43V x 2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x

2，x 3＝4V ，x ＝34V . 当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0，

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∴当x ＝34V 时，S (x )最小．

3．某厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )

A ．32 m ，16 m

B ．30 m ，15 m

C ．40 m ，20 m

D ．36 m ，18 m

解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝

512，堆料场的周长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y 2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，

也就是最小值，此时x ＝51216

＝32. 4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900

＋400x (0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )

A ．150

B ．200

C ．250

D ．300

解析：选D 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900

＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300

＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．

5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.

解析：设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13

π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3

h 3. 由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033

时，V ′>0，当h >2033时，V ′<0，所以当h ＝2033

时，V 最大．答案：2033

6．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

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解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22， ∴矩形ACBD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34

＋x ，x ∈(0，2)．由f ′(x )＝－34

x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233， ∴x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是递增的， x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439

. 答案：439

7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2

－3.2 ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)

(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数；

(2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？解：(1)由题意得，所获得的利润为 y ＝10[2(x －P )－P ]＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．

(2)由(1)知，y ′＝－6x 2

＋20x ＋96x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x

. 当4≤x <6时，y ′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6<x ≤12时，y ′＜0，函数在(6，

高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1_1

12]上为减函数，所以当x ＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y ＝20×6－3×62

＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．

8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝

a x 2＋

b (其中a ，b

为常数)模型．

(1)求a ，b 的值；

(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .

①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域；

②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．

解：(1)由题意知，M 点的坐标为(5，40)，N 点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C 的方程y ＝a x 2＋b

，可得⎩⎪⎨⎪⎧40＝a

52＋b ，2.5＝a 202＋b . 解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0. (2)①由(1)知曲线C 的方程为

y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x 3，所以y ′|x ＝t ＝－2 000t 3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t 2，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，

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所以l 的方程为

y －1 000t ＝－2 000t (x －t )．令x ＝0，得y ＝3 000t 2；令y ＝0，得x ＝32

t . 所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20. ②由①知f (t )＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.令g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝94t 2

＋9×106

t ，所以g ′(t )＝92t －4×9×106t 5＝92·t 6－8×106

t 5

＝92·t 6－（102）6t 5

.因为5≤t ≤20，令g ′(t )<0，得5≤t ＜102；令g ′(t )＝0，得t ＝102；g ′(t )>0，得102<t ≤20.所以g (t )在区间[5，102)单调递减，在(102，20]单调递增．所以g (102)＝675是g (t )的极小值，也是最小值．所以当t ＝102时，f (t )取得最小值，最小值为f (102)＝15 3.即最短长度为15 3.

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1.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．

2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)，明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．

3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)，y 0＝f (x 0)，(x 0，y 0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．

[典例1] 已知函数f (x )＝x 3

＋x －16.

(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14

x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，

∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.

∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，