九年级数学(下)第二章《二次函数》

函数表达式

开口方 向a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.

对称轴y轴(直线x 0)y轴(直线x 0)

顶点坐标

y ax2 y ax2 cy a x h 2 2

( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )

直 线x h直 线x h

y a x h k

y ax2 bx c

确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。并画 出y 3x 2 6 x 5的图像

y 3x 6x 52

3 x 2x 52

3 x 2x 1 1 5 配方:加上再减去一次项系2

提取二次项系数

数绝对值一半的平方

3 x 1 2.2

友情提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 y=a(x-h)² +k称为二次函数的顶点式

想一想P49

2

直接画函数y=ax²+bx+c的图象 2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).

3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.x …2

-2

-1

0

1

2

3

4

…

y 3 x 1 2

…

29

14

5

2

5

14

29

…

4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象.

做一做P46

3

学了就用,别客气y 3x 6 x 52

y 2x 2 12x 13

●

(1,2)

?

X=1

作出函数y=2x2-12x+13的图象.

●(3,-5) X=3

例1.求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标。 解：y=2x2-8x+7 =2(x2-4x)+7 =2(x2-4x+4)-8+7 =2(x-2)2-1

因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶 点坐标为(2,-1)。

做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x2-6x+7(2)y=2x2-12x+8 解：(1)y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4∴对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,4) (2)y=2x2-12x+8=2(x-3)2-10 ∴对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,-10)

2 b 4 ac b 函数y=ax² +bx+c的顶点式 y a x . 2a 4a

2

一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法推导出它 的对称轴和顶点坐标. 例.求次函数 y=ax² +bx+c的对 称轴和顶点坐 标.

y ax2 bx c 2 b a x x c a 2 b b 2 b 2 a x x c a 2a 2a b 4ac b 2 a x . 2 a 4 a 2

老师提示: 这个结果通常称为求顶点坐标公式.

做一做

b 4ac b 2 y a x . 2a 4a

2

顶点坐标公式 因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.b 它的对称轴是直线 :x . 2a

b 4ac b 2 它的顶点是 2a , 4a .

根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 2 ( 1 ) y 2 x 12x 13 ?(2)y 3 2x 1 2 x

(3)y 5x2 80x 319

请你总结函数 2 函数y=ax +bx+c(a≠0) 的图象和性质

想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象 之间的关系是什么？

1.顶点坐标与对称轴

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

2.位置与开口方向3.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置

y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a

y=ax2+bx+c(a<0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

开口方向增减性

向上在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

最值

b 4ac b 2 当x 时 , 最 小 值 为 2a 4a

b 4ac b 2 当x 时 , 最 大 值 为 2a 4a

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)2

顶点坐标对称轴

b 4ac b 2a , 4a b 直 线x 2a由a,b和c的符号确定

b 4ac b 2 2a , 4a

b 直 线x 2a由a,b和c的符号确定

位置开口方向

向上

向下

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质抛物线y=ax2+bx+c(a>0) 在对称轴的左侧,y随 着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大. y=ax2+bx+c(a<0)

增减性

在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.

最值

b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a

b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a

随堂练习

1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2 . y 2x2 12x 3 3 . y 5x2 8x 319;1 4 . y 3 2x 1 2 x ; 5 . y 2 . x x 2 2

2.将二次函数y=x2-2x+1的图象向上平移2个单位， 再向左平移3个单位，得到抛物线y=x2+bx+c,求b、c 的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶 点坐标，必要时画出草图进行验证。

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用 如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系, 左面的一条抛物线可以用y=0.0225x² +0.9x+10表示,而且左右两 条抛物线关手y轴对称.

y 0.0225 x2 0.9x 10y/m 10 桥面 -5 0 5 x/m

⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.

⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;

y 0.0225 x2 0.9x 10

4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400

2 0.0225 x 20 9