最小二乘

普通最小二乘法（OLS）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square，简称OLS），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。

在已经获得样本观测值yi,xi（i=1,2, ,n）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型

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（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为 0和

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1，并且是最合理的参数估计量，那么直线

方程（见图2.2.1中的直线）

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^

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yi 0 1xi i=1,2, ,n (2.2.2)

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应该能够最好地拟合样本数据。其中yi为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。

n

Q

i 1

(yi 0 1xi)

n

2

i

2

ui Q( 0, 1)

2

Q

0 0, 1 1

2

u i

y

1

i y

y

1

n

i

0 1xi

2

minQ( 0, 1)

(2.2.3)

为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。

由于

最小二乘

n

Q

n

(y

1

^

i

yi)

^

2

＝ (yi ( 0 1xi))

1

^

^

2

是 0、 1的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。所以Q

^

^

对 0、 1的一阶偏导数为0时，Q达到最小。即

^

Q 0 Q 1

容易推得特征方程：

n

0

, 0 011

0

, 0 011

(2.2.4)

(y

i 1n

i

x) 01i

y

i

i y 0

e

i

0

x

i 1

i

x) (yi 01i

xe

i

i

解得：

^^

yi n 0 1

^

xi

^

yixi 0

xi 1

xi

2

（2.2.5）

n

nnn

n xiyi ( xi)( yi)

i 1i 1 i 1 12nn

2

所以有：nx i ( xi)

i 1i 1

01

(x

i 1

n

i

)(yi )(xi )

2

i 1

（2.2.6）

于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。

为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式

的

最小二乘

参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记

x

1n1

x

i

y

n

yi

i xi x

i yi y

（2.2.6）的参数估计量可以写成

n

iy i x

t 1 1n 2

x i

t 1

0 1 (2.2.7)

至此，完成了模型估计的第一项任务。下面进行模型估计的第二项任

i yi y i为第i个样务，即求随机误差项方差的估计量。记ei u

本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。则随机误差项方差的估计量为

u

2

2

ei

2

n 2

(2.2.8)

在关于 u的无偏性的证明中，将给出（2.2.8）的推导过程，有兴趣的读者可以参考有关资料。

在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估

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计”，是参数估计量 0和 1的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅

^

最小二乘

^

把（2.2.6）看成 0和 1的一个表达式，那么，则是yi的函数，而yi是

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随机变量，所以 0和 1也是随机变量，在这个角度上，称之为“估

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^

计量”。在本章后续内容中，有时把 0和 1作为随机变量，有时又把

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0

和 1作为确定的数值，道理就在于此。

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