第五章 线性系统二次型指标的最优控制 ——线性二次型问题

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5.1 引言 5.2 线性二次型问题的提法

5.3 终端时间有限时连续系统的状态调节器问题

5.4 稳态时连续系统的状态调节器问题

5.5 离散系统的线性二次型问题

5.6 伺服跟踪问题 5.7 设计线性二次型最优控制的若干问题 5.8 小结

5.1 引言

用极小值原理解非线性系统的最优控制将导致 非线性两点边值问题，这类问题求解是很困难的。 即使系统是线性的，但当指标函数是最短时间、最 少燃料这种形式，要求得到最优控制的解析表达式， 并构成反馈控制（即把 U (t )表示为X (t )的函数）也是 非常困难的。

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下面我们将看到，若系统是线性的，指标函数 是二次型的（指标函数是X (t ) 和 U (t ) 的二次函数）， 则可以求得线性最优反馈控制律 U (t ) G(t ) X (t ) 。

G (t )的确定归结为求解一个非线性矩阵黎卡提

（Riccati）微分方程或代数方程。而黎卡提方程的 求解已研究得很透彻，有标准的计算机程序可应用， 因此，求解既规范又方便。这种问题简称为线性二 次型(Linear Quadratic 简称LQ)问题，目前应用得 十分广泛，是现代控制理论最重要的结果之一。

线性二次型问题的实用意义还在于：

把它所得到的最优反馈控制与非线性系统的开环 最优控制结合起来，可减小开环控制的误差，达到更 精确的控制的目的。

例如，在飞行器的轨迹优化问题中，根据飞行 器的状态方程（一般是非线性的）用极小值原理计算 出名义的最优控制和最优状态轨迹，设分别用 U 0 (t ) 和 X 0 (t ) 表示。

因为状态方程只能是对飞行器实际动力学特性 的近似描绘，这里存在着模型误差，把U 0 (t ) 加到飞 行器上去，所产生的实际状态 X (t ) 将不同于 X 0 (t ) （这 里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作用）。 （这里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作 用）。

令状态误差为 X (t ) X (t ) X 0 (t ) ，我们要使 X (t ) 愈小愈好，为此，可根据 X (t )构成一个最优反馈控 制 U (t ) ，作为校正信号加到 U 0 (t ) 上去，得到的实际 控制信号U (t ) U 0 (t ) U (t ) 将使飞行器尽可能沿着X 0 (t ) 飞行。

由于 X (t ) 、U (t ) 应该比较小，它们将满足 线性的状态方程，所以可用线性二次型问题设计 出反馈控制 U (t ) G(t ) X (t ) 。我们可用图5-1表 示上面的思想。

U 0 (t )

计算机存储 名义控制U（t ) 0 名义状态X（t ) 0

X 0 (t )

U (t )

实际系统 （飞行器）

X (t )

U(t)

线性二次最优反馈控制

X (t )

图5-1 线性二次最优反馈控制的应用