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第2章 符号计算教学目标 教学重点 教学内容

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教学目标 一是讲述MATLAB符号计算基本知识，包 括符号对象的创建、符号数字、符号表达 式的操作； 二是介绍符号微积分的计算； 三是介绍符号矩阵分析和代数方程(组) 的符号解法； 四是介绍符号计算结果的可视化。

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教学重点 熟悉符号对象的创建、符号数字、符号 表达式的操作。 熟悉符号微积分的基本计算函数指令。 熟悉代数方程(组)的符号解法。 熟悉符号计算结果可视化的的基本指令。 了解符号计算帮助系统及其帮助指令。

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教学内容2.1符号对象和符号表达式 2.2 符号数字及表达式的操作 2.3 符号微积分 2.4 微分方程的符号解法 2.5 符号变换和符号卷积 2.6 符号矩阵分析和代数方程解 2.7 代数状态方程求符号传递函数 2.8 符号计算结果的可视化 2.9 符号计算资源深入利用

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Matlab的符号计算功能 matlab自产生起就在数值计算上功能卓著,深受各专 业计算人员的欢迎.但由于在数学,物理等各种科研和工 程应用中经常会遇到符号运算的问题. 为此, 公司于 1993年购买了 Maple 软件的使用权,并在此基础上,开

发了符号计算工具箱 (Symbolic Math Toolbox) matlab 从2008b 开始与符号计算语言MuPAD 相 结合，到2009b止仍然支持Maple引擎(需单独安装 Maple软件) 。在此版本之间输入指令symengine 弹出选择MuPAD和 Maple引擎的窗口。 从2010a开始不再支持Maple引擎。

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符号运算与数值运算的区别：符号运算中，解算数学表达式、方程时，不是在离散

化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。这种计算建立 在数值完全准确表达和推演严格解析的基础上，所得 结果是完全准确的。

符号运算----代数运算，公式推导代值

数值运算---算术运算

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2.1 符号对象和符号表达式在matlab中,数值和数值变量用于数值的存储和各种数值计算. 而符号常量,符号变量,符号函数,符号操作等则是用来形成符号 表达式,严格按照代数,微积分等课程中的规则,公式进行运算,并 尽可能给出解析表达式.

2.1.1 符号对象的创建和衍生● ●

数值计算---变量先赋值,再使用.

符号计算---先定义基本的符号对象(可以是常量,变 量,表达式),然后用这些基本符号对象去构成新的表达 式,再进行所需的符号运算.

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2.1.1 符号对象的创建和衍生 1. 生成符号对象的基本规则① 任何基本符号对象(数字、参数、变量、表达式) 都必须借助专门的符号函数指令sym或syms定义。 ② 任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号 对象的属性。即任何包含符号对象的表达式、方程 也一定是符

号对象。

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2 符号数字的定义格式：sc=sym('num')注意：

% sc为值为num的符号数字

i) 单引号必须在英文状态下输入，构成字符串ii) num为一个具体的数字 如：

sc=sym('2/3')sb=sym('pi+sqrt(5)')

sc=2/3 sb =pi + 5^(1/2)

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2 符号数字的定义【例2.1-1】符号(类)数字与数值(类)数字之间的差异。

a=pi+sqrt(5) sa=sym('pi+sqrt(5)') Ca=class(a) Csa=class(sa) vpa(sa-a)a = 5.3777 sa = pi + 5^(1/2) Ca = double Csa = sym ans =0.00000000000000001382237584108520004859354256418

本例表现符号数字总是被准确记录和运算，而数值数字并不 总能保证被准确存储，运算时会引进截断误差。

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3. 基本符号变量： sin(3)uz xz 3w a5 0 符号参数(表达式中的参数), “待解符号变量”或 “自由符号变量” (表达式中的自变量x,默认为 x ) 定义格式：2

i) syms para para=sym('para') syms a; a=sym('a') ii) syms para flag para=sym('para', 'flag') syms a positive; a=sym('a', 'positive')

iii) syms a b c syms a b c flag

无逗号

flag为参数属性： positive----参数取正实数

real-----参数为实数unreal-----参数为限定的复数

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4. 自由符号变量 解题结果是“用符号参数构成的表达式表述自由符号 变量”。解题时自由符号变量可“人为指定”,也可 “默认地自动认定”:与小写字母 x 的ASII码距离最 小的变量。 symvar(expression) 列出表达式中所有基本符号变量 symvar(expression,n) 列出表达式中认定n个自由符号变量 expression是符号表达式或符号表达式矩阵，x是

首选自由符号变量，认定优先次序为x, y, w, z, v等

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【例2.1-2】 用符号计算研究方程 sin(3)uz 2 vz 3w a5 0 的解。 syms u v w z a5 f=sym('3'); Eq=sin(f)*u*z^2+v*z+f*w-a5; symvar(Eq) %按字母表顺序列出基本符号变量, 无 f ans =[ a5, u, v, w, z] symvar(Eq,100) %按离x的距离列出所有自由符号变量 ans =[ w, z, v, u, a5] result_1=solve(Eq) result_1 =a5/3 - (v*z)/3 - (u*sin(3)*z^2)/3 result_2=solve(Eq,z)result_2 = -(v - (v^2 + 4*a5*u*sin(3) - 12*u*w*sin(3))^(1/2))/(2*u*sin(3)) -(v + (v^2 + 4*a5*u*sin(3) - 12*u*w*sin(3))^(1/2))/(2*u*sin(3))

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【例2.1-3】元符号表达式、衍生符号表达式定义，基 本符号变量、自由符号变量的机器认定。 syms a b x X Y k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(d)+y*sin(t)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; symvar(EXPR) ans =[ X, Y, a, b, c, d, t, x, y] 无kz symvar(EXPR,10) ans =[ x, y, t, d, c, b, a, X, Y ] E3=sym('a*sqrt(theta)')??? Error using ==> sym.sym> convertExpression at 2515

E4=sym('a*sqrt(theta1)') E5=sym( a*sqrt(theta*t) ) %在R2009b版本中还正确??? Error using ==> sym.sym> convertExpression at 2515

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4. 自由符号变量

【例2.1-4】symvar确定自由变量是对整个矩阵进行的。syms a b t u v x y A=[a+b*x, sin(t)+u; x*exp(-t), log(y)+v] symvar(A,1) A= [ a

+ b*x, u + sin(t)] [ x/exp(t), v + log(y)] ans = x

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2.1.2 符号计算中的算符 由于新版matlab采用了重载(Overload)技术, 使得 用来构成符号计算表达式的算符和基本函数,无论在形 式,名称,还是使用方法上,都与数值计算中的算符和基 本函数几乎完全相同,这给编程带来极大的方便.

(1) 基本运算符算符 ”+”, ”-”, ”*”, ”\”, “/”,“^” 分别构成矩阵的加,

减, 乘,左除,右除,求幂运算. 算符 ”.*”, “./”, “.\”,“.^” 分别实现元素对元素的数组乘,除,求幂运算.算符” ' ”, “ .' ” 分别实现矩阵的共轭转置,非共轭转置