2013年山东高考数学理试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )

A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i

【答案】

D

【解析】

（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( )

A. 1 B. 3 C. 5 D.9

【答案】C

【解析】因为x,y A,所以x y 2, 1,0,1,2，即B { 2, 1,0,1,2},有5个元素，选C.

【解析】因为函数为奇函数，所以f( 1) f(1) (1 1) 2，选A.

OP PAO OA

- 1 -

即 PAO

3

，选

B.

4

2

k ,k Z

，即

4

k ,k Z，所以选B.

2x y 2 0

（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组： x 2y 1 0，所表示的区域上一动点，

3x y 8 0

【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM

x 2y 1 0 x 3 11

，选C. 的斜率最小。由 得 ，即D(3, 1),此时OM的斜率为33 3x y 8 0 y 1

（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的

（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件

- 2 -

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.

（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为

（A） （B） (C) (D) 【答案】 D

【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当x 时，

f( ) 0,排除A,选D.

（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 （A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0 【答案】A

【解析】由图象可知，A(1,1)是一个切点，所以代入选项知，B,D不成立，排除。又AB直线的斜率为负，所以排除C，选A.

设切线的斜率为k，则切线方程为y 1 k(x 3)，即kx y 1 3k 0 （10）用0，1， ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A）243 （B）252

（C）261 （D）279 【答案】B

12

【解析】有重复数字的三位数个数为9 10 10 900。没有重复数字的三位数有C9

A9 648,

所以有重复数字的三位数的个数为900

648=252，选B.

于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=

【答案】D

【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y

px。抛物线的焦点为F(0,),双曲线的右

23

- 3 -

x0211焦点为F2(2,0).y' x，所以在M(x0,，即x0

，所以)处的切线斜率为

p

2p

pppp

0pp

x0 p，即三点F(0,)，F

2(2,0)，Mp

,)共线，所以 ，即

260

2p

，选D. 3

【

解

析

】

由

，

得

x2 3xy 4y2 z 0z x2 3xy 4y2

。所

以

4y，即x 2y时取 x等号此时z 2y2，(

xy2122122121)max 1. (1 ) (1 ) zxy2yxyz2yyxyy

11

1 2y2y2

4() 1，故选B.

2

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

（13）执行右面的程序框图，若输入的 的值为0.25，则输入的n的值为

- 4 -

【答案】3

【解析】第一次循环，F1 1 2 3,F0 3 1 2,n 2，此时

11

0.25不成立。F13

第二次循环，F1 2 3 5,F0 5 2 3,n 3，此时

11

0.25成立，输出n 3。

F15

3, 3 x 1

【解析】设f(x) x x 2，则f(x) x 1 x 2 2x 1, 1 x 2。由

3,2 x 3 2x 1 1，解得1 x 2，即当1 x 3时，f(x) 1。由几何概型公式得所求概率为

3 121

。

3 ( 3)63

（15）已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB| 3,|AC 若AP AB AC,且|2,

AP BC,则实数 的值为 【答案】

7 12

【解析】向量AB与AC的夹角为120，且|AB |3,A| C|所以

1AB AC BcAoCs1 20 3

2

，AP BC ( A B)A (CA C)A 0B所

- 5 -

2。 由 3AP BC BC 0，即得，AP

2 2

以AC AB ( 1)AB AC 0，即

4 9 3( 1) 0，解得

7。 12

（16）定义“正对数”：ln x

0,0 x 1

，现有四个命题：

x 1 lnx,

①若a 0,b 0，则ln (ab) bln a ②若a 0,b 0，则ln (ab) ln a ln b ③若a 0,b 0，则ln() lna lnb

④若a 0,b 0，则ln (a b) ln a ln b ln2 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）

【答案】①③④

【解析】①当a 1,b 0时，a 1，ln (ab) lnab blna,bln a blna，所以

b

ab

ln (ab) bln a成立。当0 a 1,b 0时，0 ab 1，此时ln (ab) 0,bln a 0，即ln (ab) bln a成立。综上ln (ab) bln a恒成立。②当a e,b

lna(b )

1

时，e

l n1

③讨论a,b0a, lne l nb， 所以1ln (ab) ln a ln b不成立。

的取值，可知正确。④讨论a,b的取值，可知正确。所以正确的命题为①③④。 三、解答题：本大题共6小题，共74分.

- 6 -

（18）（本小题满分12分）

如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。

（Ⅰ）求证：AB//GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 . 解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB，所以EF//CD，EF 平面EFQ， 所以CD//平面EFQ，又CD 平面PCD,所以 CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.

(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP

为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，

可得平面GCD的一个法向量为n1 (0,2,1)，

平面EFG的一个法向量为n2 (0,1,2)，可得cos

4

,所以二面角D-GH-E的余弦

5

（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0

相应的概率依次为：,

144167

,,，所以EX= 解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，a1 1,d 2

所以an 2n 1

- 7 -

（1）求f(x)的单调区间，最大值；

（2）讨论关于x的方程|lnx| f(x)根的个数.

直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

- 8 -

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公

定值

.

2322

16) 3x0 12x0，因为x0x0 4

，将向量坐标代入并化简得：m（4x0 4，

- 9 -