第一章 概率论的基本概念

一、填空题

1.(1)ABC;(2)A B C;(3)ABC ABC ABC;(4)ABC ABC ABC ABC(或AB AC BC)

2．

37511

； 3．0.6； 4． 0.3； 5． 0.7,0.8； 6． ； 7． ；

78882

10

A64A125

8. 1 10或0.996； 9． 4 0.2778；10. 1 p.

18126

二、选择题 D；C； B； A； D； C； D；C；C；B.

三、解答题

P(BA), P(A) P(AB) P(B) P(AB). 1.解： P(AB）

1

P(A） P(B),又 P(AB) ,A,B相互独立，

9

12

P(AB) P(A)P(B) P2(A) [1 P(A)]2 , P(A) .

93

2.解： 设事件A表示“一个是女孩”，事件B表示“一个是男孩”，则所求为

P(B|A).

法1：样本空间 {AA,AB,BA,BB}，由条件概率的含义知:P(B|A) 法2：在样本空间 {AA,AB,BA,BB}内，P(A)

2

. 3

31,P(AB) , 42

P(B|A)

P(AB)2

.

P(A)3

3.解：设Ai=“飞机被i人击中”，i=1，2，3 , B=“飞机被击落”, 则由全概率

公式：

P(B） P(A1B A2B A3B) P(A1B) P(A2B) P(A3B)

P(A1)P(BA1) P(A2)P(BA2) P(A3)P(BA3) (1)

设H1=“飞机被甲击中”，H2=“飞机被乙击中”，H3=“飞机被丙击中”, 则: P(A1) P(H123 P(1H23 P(12H3)

P(H123) P(1H23) P(12H3)) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，

P(A1) P(H1)P(2)P(3) P(1)P(H2)P(3)

+P(1)P(2)P(H3))

0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36

同理求得P(A2) 0.41, P(A3) 0.14.

代入（1）式 P(B) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458.

4.解：设事件A表示“知道正确答案”，事件B表示“答对了”，则所求为P(A|B).

P(A|B)

P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)

P(B)P(AB) P(AB)P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)

1

1

5 .

1217 1 335

5.解：设A=“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，B “箱中恰有i件残次品”

i 0,1,2, 由题意P(B0) 0.8,P(B1) P(B2) 0.1. P(A|B0) 1,

4

C194

P(A|B1) 4 ,

C205

4C1812

P(A|B2) 4

C2019

（1）由全概率公式：P(A)

P(B)P(A|B) 0.94

i

i

i 0

2

（2）由贝叶斯公式：P(B0|A)

P(A|B0)P(B0)

0.85.

P(A)

第二章 随机变量及其分布

一、填空题

1. 2[1 F(a)]；2.

1

2119；3. 0.9974； 4. ；5. ； 227

y 11 0.3

6. 7. ；8. 4； 9. e； 10. F().

2

2

二、选择题 C；A；D； B；D；C；B；B；C；A. 三、 解答题

1.解：(1) 因为

11 9

，所以， 得. P{X k} 1A3 1 1A 39 40 k 1

x 1 1 x 00 x 1. 1 x 2x 2

311

404010.

k 1

2

0, 27 , 40 9

(2) F(x) ,

10 39, 40 1,

(3) P{1 X 2} P{X 1} P{X 2}

9 1

(4) Y X 1的分布律为: P{Y k}

40 3

,k 0，1,2,3.

F(x)为随机变量的分布函数， F(x)右连续，单调不减，并且 2. 解：

F( ) 1，F( ) 0. F( ) lim[a

x

b

] a 1，F( ) limc c 0.

x (1 x)2

b

] a b c， b a 1. 2

(1 x)

由F(x)右连续，得:lim[a

x 0

a 1,b 1,c 0.

3. 解：（1）由

15

f(x)dx 1及P{X 可知，

28

A 1(Ax B)dx 1 B 1 A 1 0 2

解得： 即 1. 15B 3A B 5 1(Ax B)dx 2 8 228 81

x ,

(2)由(1)得：f(x) 2

0,

0 x 1其他

x 00 x 1x 1x 00 x 1 x 1

1

214

,

0, x

1

F(x) P{X x} (x )dx,

02 1,

0, 11

x2 x,

2 2

1,

1

1

11111

(3)P{ X 12f(x)dx 12(x )dx (x2 x)

4222244

7

. 32

(4)记Y的分布函数为FY(y)，则

y 1y 1

FX(), 22

y 1y 11y 1

两边求导得： fY(y) fX()() fX(),

2222FY(y) P{Y y} P{2X 1 y} P{X 1y 11

）, fY(y) 22 代入f(x)的表达式得：2

0,

y1 , 42 0,

0

y 1

1, 2

其他

1 y 1其他

.

4．解：记Y的分布函数为FY(y)，则：

FY(y) P{Y y} P{1 e 2X y} P{e 2X 1 y}，

当1 y 0即y 1时，FY(y) 0;当1 y 1即y 0时，FY(y) 0;

所以当0 y 1时，FY(y) P{e 2X 1 y} P{X

1

ln(1 y)} 2

1

FX( ln(1 y)).

2

两边求导得：fY(y) fX(

111

ln(1 y))

221 y

代入f(x)的表达式得：fY(y) 1. 1,

fY(y)

0,

0 y 1其他

, 即Y服从U(0,1)的均匀分布.

四、应用题

1. 解：设考生的外语成绩为X，则X~N(72, ). 因为 0.023=P{X 96} 1 P{X 96} 1 P

2

X 7224 24

1 ，

即

24 24

，查表得： 0.977 2，即 12.于是X~N(72,122).

X 72

1 2 (1) 1 0.6826. 12

所以P{60 X 84} P 1

2

2. 解：由X~N(7.5,10)，得一次测量中误差不超过10米的概率为

10 7.5 10 7.5

P{ 10 X 10} 0.5586.

1010

设需要进行n次独立测量，A表示事件“在n次独立测量中至少有一次误差不超 过10米”， 则 : P(A) 1 (1 0.5586) 0.9 n 3 即至少需要进行3次独立测量才能达到要求.

n

第三、四章 多维随机变量、数字特征

一、填空题：

1．e 1； 2. 18.4； 3. N(－3,25)； 4. 6．，6；7．0.9；8．

8

；5．0.4，0.1; 9

111；9. ；10. 1 . 92e2e

二、选择题： A；B；C； D；A；B；C；C；D；A. 三、解答题：

1．解：P{Y X 0}

P{X 0,Y 1}b1

①

P{X 0}a b2P{X 1,Y 0}c1

②

P{Y 0}a c3

P{X Y 0}

又

p

i

1， a b c 0.5 1,即a b c 0.5 ③

由①得, a b; 由②得, a 2c;

将a b 2c代入③式得：c 0.1,a b 0.2.

2. 解：（1）先 …… 此处隐藏：5873字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……