9 第九讲 劳斯判据-根轨迹-幅值和相角方程

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线性控制系工统程第9 单劳斯元据 判根轨：迹幅和相角值方程

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系稳定统: 性系稳定统:性只要有个一闭环极位于复点平的面右半平面 系统就，不定稳。1 G( s) + (Hs =) 0∵ Hc(t) = A∑ejj 1 n1 = p j

+ ∑Btlel =1n2

lσtsni( ωl +t l)

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劳稳斯判据定特征程表方示多为式项的形式:

a0 s+ a 1s n

n1

a+2s n 2+… n a1 s+ n = a0+ (要条件)必Setp1 : 所 系有数为正;Stp 2e :劳斯阵列第 列元一素符号无的改变。 (充分条件

)

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0as +a s1

n 1n

a2 s+n2

+ s sss n 1

+ n a1 s +an= 0a2a 3b2 c2 a a4 53 cb a3 a76b 4 c4 : ::a 1b1 1ca1a 2 a 0 3a 1b = 1 a a a a 0a5 2 =b 4 a1 1 = a1a 6 a0 a7 3 ab11ba 3 a 1 b2 1b 1 ab 5 a 1 b 3sn : a 0 2 n n n3 41c= c2

b= b11a 7 a b 1 c34 b1

c b = b 1c 2 1d= 1 2c1 = c b1 b3 1 c3 d2 1c c b b1 c 4 d3 = 1 4c 1

:d1 d 2 d 3 d4 .2 s : 1 e2 ee . . 3s 1 :f1f 2 s:g 1

…0 ……… .

.

.

劳阵列斯

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例:1P1 84s + s6 + 4s+ 3 s+1 = 04 3

s 2: 13 :s6 2 s: 3.0 15 : 1s.2 0 8s :1

44 1 0 3 01系统稳是的定

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例 2 :P148s + 2 s +s3 4+s + =5 0 4 32

4S: S 3 S: 2: 1S : S 0

1: 2 -16 5

34 5 005 0 00 0

有个闭环两极位点 于复平面右平半， 系统面不定。

稳

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些一特殊的况情: 1 + s 3 +6 4s 2 3+ s 1+= 0s

S44: S3 S:2: S : S10:

12

141 0×1(3)/ 00

3.51 .43 0 10 0

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2

+3s 3 + s 2 +3s + 1 0 =s4

s s sss 4

13

1 3 101

某有一个系数 行零为,用穷无数小ε 替代最,取后 极限

3 2

1 ε -33 εε

1

0可第见1的列符号改了2变，有2次个位于 根有右S平半面。

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+ 2s 35 8+ 4s +12s + 23s 02 +1 6s +1 6= 0 6s6 ss5 s4

1 22 0

1 18 12 03 21620 161 6 061P( s) = s +46s2 + 8 dP( s )d s 是有在 半平 ？ 否 根 右 s 2面s +14s22 16+= = 403s+1 s

s3 s2 s21s0

6 1 3 42(s2

+ 2)(s 2 4+ )= 0 s,34= ±j2

1s2 , =±j ,2行为整,零用一上的行系数作辅助方P程()S

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劳斯判的据其应他1 用分系析参数统对稳性定的响 例影3-8特 征程：方KΦ (s)= ss +1()( +5s )+K s+ 6 + 5s s + K= 03 2

K 0 定稳必的要条：件 03 K 0 所以的K取范围值： 界放大临数系

0: K 30 K =3

02

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确系统的相对稳定性定用利标坐移平σ

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根轨迹方法 幅:和值角方相程根迹轨方提法供一了种直接解 法图用来解”“征方特程从而，在复 面上显示平出闭极环点位置。的

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特方征程: +1 (Gs)H (s) 0=+R或

GH s ( ) = 1+0 j E C′G H

图C8.1 一.的般馈反控制系统写出幅值和相角方其程|:G H (s )| = 1 ∠H G(s ) = 810

根轨方迹： 法1( )得求足满相角方程所的有s值。 () 求得满足幅2方值的特定程s值。

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一的开环传递般函数可义为定

: ∏(s m

+ z +

pK∏ s( k=1=1i ni) )

km ∏ s z+ ii 1 = K = 1 n ∏ s + pk k 1 = n m ∠∑(s + zi ) ∑ ∠ i =1k =1(s+ p

)=

k180

∑=1i

m∠

βi

∑k=1 n

α

k

= 801

例

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1

G (H S ) =

sK( s +1) I

m .1 K|s |s+ 1| 1= | . ∠ ∠ (∠ +( + ) = )s s 1 10 8∑0

s

stt22α-1α1

R

e(1)设 ts =-05.满足相位程方st1

.9图3 s 和 .ts+1的相角(2)设 st= 0-.±j50.满5足相方位程

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开离实 穿轴 过 s =- .5的实轴0直垂线上所有的s 都满t足角方程相1+ G H() s =s + s+K 0=2Im

1.0=K1. K5=.05 /2

1s

= 1 ±1 4 K2

0. 5K=0.2 K=50

= 0. ±50.25 K - 1K=05.Re

0-. 5-05..图97 随.着益增变化的环闭点的位极置