2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算

实例1

把纸沿着中线对折，若要使折得页数为128页，

需折多少次？

2 128 如何求 x 的值呢？x

实例2 我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某

种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…….1个这样的细胞分裂x次后,得到细胞个数y是分裂次数x

的函数,这个函数可以用指数函数y=2x,x∈N表示。

反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以 得到8个、1 024个、8 192个……?已知细胞个 数为y,如何求分裂次数x?

1 8=2x

2

4

…8 192=2x

y=2x

1 024=2x

2x=8, x = ?

2x=1 024,2x=8 192, x = ?这是已知底数和幂的值，求指数的问题， 即指数式ab=N中，已知a 和N,求b的问题，

这里 a 0且a 1.为了解决这类问题，引进一个新数——对数.

1.理解对数的概念；(重点)2.掌握对数式与指数式的相互转化.(难点)

3.掌握对数的性质.(重点)

探究一

对数的概念

一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫 logaN 对数 ，记作x=_____. 做以a为底N的_____ 其中a叫做对数的_____ 底数 ，N叫做_____. 真数

log a N b底数 真数对数

思考1:式子ax=N与x=logaN中，a,N的取值范围如 何？ 提示：a>0,且a≠1,N>0.

思考2:对数概念中为什么规定a>0,且a≠1?

提示：若a<0,则N为某些值时，x的值不存在,如x=log-28.

x=logaN可化为ax=N,当a=0时，若x=0,则无意义； 当a=1时，无论x取何值，N都为1,没有研究的必要， 故规定a>0,且a≠1.

常用对数与自然对数的定义 (1)以___ 10 为底的对数叫做常用对数. 为了方便,N的常用对数log10N简记为:lg N. (2)以__ e 为底的对数称为自然对数. 为了方便,N的自然对数logeN简记为:ln N.

探究二

对数与指数的关系

a b N 叫做指数式, loga N b 叫做对数式.当 a 0, a 1, N 0 时， 指数式与对数式的互化 幂 真数

指数

对数

a Nb

loga N b底

底

对数的性质：

() 1 log a 1 0; (2) log a a 1; (3) N 0.

例1.将下列指数式化为对数式(1)5 6254

1 (2)2 64 6

指数式与对 数式是互逆 运算

1 m (3)( ) 5.73 3

解： (1)log5 6253

4

1 (2) log 2 64

6

(3)log 1 5.73 m

【变式练习】将下列指数式转化为对数式： (1)30=1; (2)80=1; 你发现了 什么?

(3)0.50=1; (4)2.90=1.

0 (3)log0.51= 0

(1)log31=

0 (4)log2.91= 0(2)log81=

“1”的对数等于零,即loga1=0.

例2.把下列对数式化为指数式：

(1)log 1 16 42

(2)lg 0.01 2注意相 互转化

(3)ln10 2.3031 4 解：(1)( ) 16 2

(2)10 2 0.01

(3)e

2.303

10

例3 求下列各式中x的值：2 1 log64 x ; 3 3 lg 100 x;

2 log x 8 6; 4 - lne 2 x.2 3 3

解： 1 x 641 6

2 3

41 3 6

1 4 ; 16 2

2 x 8 = 2 =2 = 2; x x 2 3 10 100,10 10 , 于是x 2; 4 ln e2 x,e2 e x , 于是x 2.

1 2