同济大学线性代数

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一、最大线性无关向量组定义1 定义1 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量

α 1 ,α 2 ,L,α r,满足

线性无关； (1)向量组A0 : α 1 ,α 2 ,L,α r 线性无关； 个向量( (2)向量组A中任意r + 1个向量(如果A中有

那末称向量组A0是 r + 1个向量的话)都线性相关， 个向量的话) 向量组A的一个 最大线性无关向量组 (简称最大无关组) 最大无关组所含向量个数r称为向量组 ; 有最大无关组， 的秩.只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定

它的秩为0.

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二、矩阵与向量组秩的关系定理1 定理1 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 量组的秩，

它的行向量组的秩 .

证 设A = (a1 , a 2 ,L , a m ),R( A) = r , 并设r阶子式 Dr ≠ 0.根据4.2定理 2由Dr ≠ 0知所在的 r列线性无 阶子式均为零， 又由 关； A中所有 r + 1阶子式均为零，知 A中任意 r + 1个列向量都线性相关 . 因此Dr 所在的 r列是A所以列向量组的秩 关组， 的列向量的一个最大无 关组， 的行向量组的秩也等于 等于r . 类似可证 A的行向量组的秩也等于 R( A).

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, 向量组 a1 , a 2 ,L, a m的秩也记作R(a1 ,a2 ,L am )结论

若Dr 是矩阵 A的一个最高阶非零子式 ，则Dr 最大无关组， 所在的 r列即是列向量组的一个 最大无关组， Dr 所在的r 所在的 r行即是行向量组的一个 最大无关组 .说明

(1)最大无关组不唯一; )(2)向量组与它的最大无 关组是等价的 .

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例1 全体n维向量构成的向量组记 作R n,求 R n的 一个最大无关组及 R n的秩 .

解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组 E : e1 , e2 ,L , en是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n

个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.

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例2 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9

求矩阵A 无关组， 求矩阵 的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .

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解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 4 0 , 1 3 0 0

A

初等行变换

~

知R( A) = 3,

故列向量组的最大无关 组含 3个向量 . 2 4 三列， 而三个非零行的非零首 元在 1、、三列，

故 a1 , a 2 , a4 , 为列向量组的一个最大 无关组 .

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事实上

2 1 1 1 (a1 , a 2 , a 4 ) = 1 1 4 6 2 3 6 7

初等行变换

~

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

知R(a1 , a 2 , a 4 ) = 3,故a1 , a 2 , a 4 线性无关 线性表示， 要把a3 , a5用

a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵 .

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A

初等行变换

~

1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

4 3 1 3 0 0

即得

a 3 = a1 a 2 , a 5 = 4a 1 + 3a 2 3a 4

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三、向量组秩的重要结论定理2 定理2 设向量组 B能由向量组 A线性表示，则向 线性表示，

量组B的秩不大于向量组 A的秩. 证 设向量组 B的一个最大无关组为 B0 : b1 ,L , br,向量组 A的一个最大无关组为 A0 : a1 ,L , a s , 要证 r ≤ s. 组线性表示， 因B0 组能由 B组线性表示， B组能由 A组线性

表示， 表示， A组能由 A0 组线性表示 . 故B0 组能由 A0 组线性表示 . 即存在系数矩阵 K sr = ( k ij ), 使得

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k11 L k1r (b1 ,L, br ) = (a1 ,L, a s ) M M k L k sr s1 x1 如果r > s,则方程组 K sr M = 0 (简记为 Kx = 0) x r 从而方程组 有非零解( 有非零解(因 R( K ) ≤ s < r), ( a1 ,L, a s ) Kx = 0 有非零解， 有非零解，即(b,L, br ) x = 0有非零解， 有非零解， 这与B0 组

线性无关矛盾， 不能成立， 线性无关矛盾，因此 r > s不能成立，所以 r ≤ s .

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推论1 推论1

等价的向量组的秩相等 .

证 设向量组 A与向量组 B的秩依次为 s和 r .

因两个向量组等价， 因两个向量组等价，即 两个向量组能相互线性 表 故 示， s ≤ r与r ≤ s同时成立 , 所以s = r .推论2 推论2

设 C m × n = Am × s Bs × n,则 R(C ) ≤ R( A), R(C ) ≤ R( B ).

证 设矩阵 C和A用其列向量表示为C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ). 而B = (bij ),

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b11 L b1n (c1 ,L, c n ) = (a1 ,L, a s ) M M 由 b L bsn s1 的列向量组线性表示， 知矩阵C的列向量组能由 A的列向量组线性表示， 因此R(C ) ≤ R( A).因C = B A ,由上段证明知 R(C ) ≤ R( B ), 即R(C ) ≤ R( B ).T T T T T

思考理 推 2 什 异 ？ 定 2与 论 有 么 同

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的部分组， 推论 3 设向量组 B是向量组 A的部分组，若向量 线性无关， 线性表示， 组B线性无关，且向量组 A能由向量组 B线性表示， 则向量组 B是向量组 A的一个最大无关组 .

证

个向量， 设向量组 B含r个向量，则它的秩为 r ,

因A组能由B组线性表示，故 A组的秩 ≤ r, 组线性表示， 个向量线性相关， 从而A组中任意 r + 1个向量线性相关，所以向量组B 所以向量组 满足定义1所规定的最大无关组的 条件.

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例3 设向量组 B能由向量组 A线性表示 , 且它们的 秩相等， 秩相等，证明向量组 A与向量组 B等价.证一 只要证明向量组 A能由向量组 B线性表示 .

设两个向量组的秩都为 r,并设 A组和B组 的最大无关组依次为 A0 : a1 ,L, a r 和B0 : b1 ,Lbr ,组线性表示， 因B组能由 A组线性表示，故 B0 组能由 A0

组线性 表示， 表示，即有 r阶方阵 K r 使

(b1 ,L, br ) = (a1 ,L, a r ) K r

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组线性无关， 因B0 组线性无关，故 R( b1 ,L, br ) = r .根据定理 2推论 2,有 R( K r ) ≥ R(b1 ,L, br ) = r但R( K r ) ≤ r,因此 R( K r ) = r .

可逆， 于是矩阵 K r 可逆，并有 (a1 ,L, a r ) = (b1 ,L, br ) K r ,即A0 组能由 B0 组线性表示 . 1

从而A组能由 B组线性表示 .