2009-2010第二学期线性代数试卷A参考答案

2009-2010 第二学期线性代数试题A参考答案

一．1．（D）；2．（C）；3．（A）；4．（D）；5（B）。

二．1． 2；2． 1

2

；3．1或3；4．0；5. 24。 三．

1 11a 10 1aa 11．

1 1a 1 1c1 c20 1a 1

1a 11 1c3 c4aa 10 1

a 1 11 1a 1

0 1

000a

r1 r2a 1

00a

r r a

0 1

00

按c1展开 a 1a 1 a4

340a

a 1

0 1

a00

2．由分块法可求得

34

000 61 1 10

00 3 5 1

2

10 30 A 1

00

2 70 0

0 312 A 1BT

2 32

220 1 0

0000

1 2 2 1 8

00

8

3．证：由2A A E A3得：A3 2A2 2A O 改写为A3 2A2 2A E E

即 E A A2 A E

E，则E A可逆 且 E A 1

A2 A E

4．解：设存在k1,k2,k3，使得k1 1 k2 2 k3 3 ，即

1 k1 k2 k3 0 k1 1 k2 k3 k21 k2 1 k3

1

1 11

其系数行列式

11

1 1 2 3 11

（1）当 0且 3时，方程组有惟一解，即 可由 1, 2, 3线性表示，且表示惟一。

（2）当 0时，方程组是齐次线性方程组，由于系数行列式等于零， 可由

1, 2, 3线性表示，但表示不惟一。

5．解：（1）由AB 2B O及R B 2知，齐次方程 A 2E x 0的基础解系有2个线性无关的解向量，

即 2是矩阵A的二重特征值，且有2个线性无关的特征向量， 由A E A 2E 0知， 1和2也是A的特征值，故A的特征值为

1 2 2, 2 1, 3 2-

（2）由于 2有两个线性无关的特征向量，且不同的特征向量一定线性无关，因此A有4个线性无关的特征向量，故A可以对角化。 （3）A 3E的特征值为1,1,2,5，则A 3E 10 6.证明：法一

设存在 , 1, 2, , s使得 1 1 2 2 s s 0，则

A 1 1 2 2 s s A 1A 1 2A 2 sA s 0 由题设可得 A b,A i 0 i 1,2, ,s ，

即 b 0，由于b 0，则 0，即 1 1 2 2 s s 0。 由于 1, 2, , s是齐次线性方程组的基础解系，必线性无关 则 1 2 s 0，因此 , 1, 2, , s线性无关。 法二：反证法

假设 , 1, 2, , s线性相关，由于 1, 2, , s是齐次线性方程组的基础解系，必线性无关，则 可由 1, 2, , s线性表示。

则存在一组数 1, 2, , s，使得 1 1 2 2 s s

2

两边同左乘矩阵A，得：A 1A 1 2A 2 sA s 由题设 A b,A i 0 i 1,2, ,s ， 得b 0，矛盾。因此 , 1, 2, , s线性无关。

222

7．解（1）二次型f x1,x2,x3 x1 x2 x3 2ax1x2 2x1x3 2bx2x3的矩阵

A 1a1

a1b -

1b1

由于其标准型的矩阵B 0

1 ，显然有A B 0。

2

则a b，又1是A的特征值，即A E 0，得a b 0。 （2）矩阵A有3个特征值0,1,2，

1

由 A 0E X 0，得A的一个特征向量P

2 1 0

1 2

0 由 A E X 0，得A的一个特征向量P

2 1

0

1 由 A 2E X 0，得A的一个特征向量P

02 3

1 2

1

201 令P 0

1102

0

1 即为所求正交变换矩阵。

22

3