4-13《两条直线的位置关系》PPT(京教版七上)PPT课件

一.直线系一般地说，具有某种共同属性的一类 直线的集合，称为直线系，它的方程叫直 线系方程，直线系方程中除含变量x,y以

外，还可以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.

1. 经过定点的直线系方程： (1)过定点P(x0, y0)的直线y-y0=k(x-x0)(k为参数)是一束直线( 方程中不包括 与y轴平行的那一条)(即x=x0), 所以y-y0=k(x-x0)是经过点P(x0, y0)的 直线系方程；

(2)直线y=kx+b ,(其中k为参数，b为 常数),它表示过定点(0,b)的直线系， 但不包括y轴(即x=0); (3)经过两条直线交点的直线系方程： l1:A1x+B1y+C1=0 (A12+B12≠0)与l2: A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系 为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0, (其中m、n为参数，m2+n2≠0)

直线系方程： m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(其 中m、n为参数，m2+n2≠0) 当m=1,n=0时，方程即为l1的方程； 当m=0,n=1时，方程即为l2的方程. 上面的直线系可改写成 (A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ 为参数), 但是方程中不包括直线l2,这个参数方 程形式在解题中较为常用.

2. 平行直线系： 直线y=kx+b (其中k为常数，b为参数), 如直线y=3x+b表示的是斜率为3的所有直 线，这样的直线系方程叫做平行直线系方 程。

例1: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的 交点，且满足下列条件的直线l的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。 (1)解: 设过两直线交点的直线方程为：

x 2 y 4 ( x y 2) 0

将点(2,1)代入方程，得：

2 2 4 (2 1 2) 0

解得: 4 故所求直线方程为：x+2y-4=0

x 2 y 4 0 (1)解2: 联立方程组 x y 2 0

解得两线的交点:(0,2) 过两点(2,1)、(0,2)的直线方程为：

y 2 x 0 1 2 2 0即 x+2y-4=0为所求.

例1: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的 交点，且满足下列条件的直线l的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。 (2)解: 将(1)中所设的方程变为：(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0

解得所求直线的斜率为：1 3 1 由已知得： 2 4

1 k 2

解得: 11 故所求直线方程为： 4x+3y-6=0

x 2 y 4 0 (2)解2: 联立方程组 x y 2 0

解得两线的交点:(0,2) 设和直线3x-4y+5=0垂直的方程为: 4x+3y+m=0

将点(0,2)代入上式解得: m=-6 故直线的方程为：4x+3y-6=0

例2.设三条直线：x-2y=1,2x+ky=3, 3kx+4y=5交于一点，求k的值. x 2y 1 解：解方程组： 2 x ky 3

解得

k 6 x k 4 y 1 k 4

即前两条直线的交点为

k 6 1 ( , ) k 4 k 4

因为三直线交于一点，所以第三条直

线 必过此定点，

k 6 1 故 3k ( ) 4( ) 5 k 4 k 416 解得k=1或k= 3

例3. 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1. (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限; (2)为使这直线不过第二象限，求a的范围. 解： (1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=0, 由直线系方程知对任意实数a,该直线恒 过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点。 1 x 联立3x-y=0与x-2y+1=0解得 5 y 3 5

∴直线恒过第一象限内的定点(1 (2)当a=2时，直线为 x= 5

1 3 , 5 5

);

此时该直线不过第二象限 。 当a≠2时 ，直线方程化为：a 1 3a 1 y x a 2 a 2

若直线不过第二象限，则满足 3a 1 0 a 2 1 0 a 2

解得a>2 ,

综上得，当a≥2时，直线不过第二象限.

例4. 下面三条直线l1:4x+y-4=0,l2: mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能构成 三角形，求m的取值集合. 解：(1)三条直线交于一点时： 4 x y 4 0 由 m x y 0

解得l1和l2的交点A的坐标

4 4m ( , ) 4 m 4 m