练习五

1． 试确定下面求积公式

1

1

f(x)dx C[f(x0) f(x1) f(x2)]

使其具三次代数精度.

解：要公式有3次代数精度，需有

C(1 1 1) 1dx 2

1

1

C(x x x) xdx 0012 1

122222

C(x0 x1 x2) xdx

13

1 333

C(x0 x1 x2) x3dx 0 1

解得：C

2,x0 0,x1 x2 32f(x)dx [f(0) f f( 1

31

故求积公式为

2． 设f (x) ∈C [a,b]，则计算

_______________。

b

a

f(x)dx的复化梯形公式是_______阶收敛的，其代数精度为

3． 在区间[a,b]上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及代数精度.

解：

b

a

f(x)dx (b a) Bnf(a nh)

n 0

N

Bn

( 1)

N[n!(N n)!] 0

N n

N

i 0,i n

N

(t i)dt

7162,B1 ,B2 904515

167,B4 B0 又Bn BN n 故B3 B1 4590

当N 4时，有求积公式 b1464246414f(x)dx hf(x) hf(x) hf(x) hf(x) hf(x4) （＊） 0123 a

4545454545b a

,xi a ih,i 1,2,3,4 其中h 4

当N 4时，B0

f(4 1)( )4

由Lagrange差值定理有：R4(f,x) (x xi)

(4 1)!i 0