练习一

1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？

nx2. 试导出计算积分In 的递推计算公式In 1(1 In 1)，用此递推公式计算积分的 (n 1,2,3,4) 4n1 4x0

1

近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

xn14xn xn 1 xn 11xn 1n 1

解：In ( xdx ) 1 4x401 4x401 4x00

In

1

1111

11

( I) 4nn 1

I0 I1

11

dx ln5 0.402 1 4x40

11

(1 I0) 0.150, I2 (1 I1) 0.21344 11

I3 (1 I2) 0.197, I4 (1 I3) 0.201

44

此算法是数值稳定的。 3. 试证明 x证明：

（1）令xr maxxi

1 i n

1( 1)n

en In In (In 1 In 1) ... ne0

44

n

maxxi,

1 i n

x (x1,x2, xn) R及A max aij,A (aij) Rn n.

T

n

1 i n

j 1

x

lim( xi)

p

i 1

n

p1/p

limxr[ (

p

i 1

n

xixr

)]

p1/p

limxr[ (

p

i 1

n

xrxr

)p]1/p limxr n1/p xr

p

即x

xr

又lim(

p

i 1

n

xi)

p1/p

lim( xr)1/p xr

p

i 1

n

p

即x

xr x xr

⑵ 设x (x1,...xn) 0，不妨设A 0，

令 max

1 i n

a

j 1

n

ij

Ax

max aijxj max aijxj maxximax aij x

1 i n

j 1

1 i n

j 1

1 i n

1 i n

j 1

nnn

即对任意非零x Rn，有

Axx

Ax0x0

下面证明存在向量x0 0，使得

n

，

设

a

j 1

i0j

，取向量x0 (x1,...xn)T。其中xj sign(ai0j)(j 1,2,...,n)。

n

n

显然x0

1且Ax0任意分量为 ai0jxj ai0j，

i 1

i 1

故有Ax0

4. 已知A

max

i

ax

iji 1

n

j

ai0j 即证。

j 1

n

4 3

，A1 ___________，A2 _______________ 。

16

321

5. 已知矩阵A 230 ，试计算A的谱半径 (A)。

103

3

解： fA( ) det( I A) 2

2 1

0 ( 3)( 2 6 4) 0

3

3

1

max 3 (A) 3

0 21

6. 已知A 1 21，试计算||A||1，||A|| ，||A||F，||A||2 1 2 0

3

解：（1）||A||1 max |aij| 5

1 j 3

i 1

||A|| max |aij| 5

1 i 3

j 1

3