高中数学三维设计必修4讲义：第一章 1.5 第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质

第二课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质

预习课本P54～55，思考并完成以下问题

(1)在简谐运动中，y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)有哪些性质？

[新知初探]

1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义

[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正

数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4

. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的有关性质

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的值域为[－2， 2 ]．( )

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( )

(3)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13

x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6

B ．6π，13，π6

C ．3π，3，－π6

D ．6π，3，π6

答案：B

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝( )

A ．5

B ．－5

C ．4

D ．－4 答案：C

4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭

⎫x －π4的图象的对称轴方程是________________________． 答案：x ＝k π＋3π4

，k ∈

Z

[(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R ；

(2)y ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R. [解] (1)A ＝2，T ＝2π12＝4π，φ＝π6. (2)将原解析式变形，得y ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝6sin ⎝⎛⎭⎫2

x ＋23π，则有A ＝6，T ＝2π2

＝π，φ＝23

π.

[活学活用]

已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝

⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )

A ．T ＝6，φ＝π6

B ．T ＝6，φ＝π3

C ．T ＝6π，φ＝π6

D ．T ＝6π，φ＝π3

解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6， ∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12

. ∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.

[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ⎝

⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3，

T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2，

∴y ＝3sin(2x ＋φ)．

∵点⎝⎛⎭

⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭

⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3

＋k π(k ∈Z)． ∵|φ|<π2，∴φ＝π3

. ∴y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]

由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，

∴⎩⎨⎧

πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]

由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6

个单位长度而得，

所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3

.

[活学活用]

如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)

的图象的一部分，试求该函数的解析式．

解：由图可得：A ＝3，T ＝

2|MN |＝π.从而ω＝2πT

＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，

将M ⎝⎛⎭⎫π3，0代入得sin ⎝⎛⎭

⎫2π3＋φ＝0， 取φ＝－2π3

，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.

[典例] 在函数y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6

(k ∈Z) ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭

⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭

⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭

⎫π12，0 [一题多变]

1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y 轴最近的一条对称轴方程．

解：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24

， 取k ＝0时，x ＝－π24

满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？

解：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝14k π－π24

， 取k ＝0时，x ＝－π24

. 则所求对称中心为⎝⎛⎭

⎫－π24，0.

三角函数对称轴、对称中心的求法

层级一 学业水平达标

1．简谐运动y ＝4sin ⎝

⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )

A ．5x －π3，π3

B ．5x －π3，4

C ．5x －π3，－π3

D ．4，π3

解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3

. 2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6

的函数表达式是( ) A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭

⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝

⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6

，排除C. 3．函数y ＝12sin ⎝

⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2

B ．x ＝π2

C ．x ＝－π6

D ．x ＝π6

解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6

. 4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝ …… 此处隐藏：4769字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……