第二课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质

预习课本P54～55，思考并完成以下问题

(1)在简谐运动中，y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)有哪些性质？

[新知初探]

1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义

[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正

数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4

. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的有关性质

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的值域为[－2， 2 ]．( )

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( )

(3)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13

x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6

B ．6π，13，π6

C ．3π，3，－π6

D ．6π，3，π6

答案：B

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝( )

A ．5

B ．－5

C ．4

D ．－4 答案：C

4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭

⎫x －π4的图象的对称轴方程是________________________． 答案：x ＝k π＋3π4

，k ∈

Z

[(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R ；

(2)y ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R. [解] (1)A ＝2，T ＝2π12＝4π，φ＝π6. (2)将原解析式变形，得y ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝6sin ⎝⎛⎭⎫2

x ＋23π，则有A ＝6，T ＝2π2

＝π，φ＝23

π.

[活学活用]

已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝

⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )

A ．T ＝6，φ＝π6

B ．T ＝6，φ＝π3

C ．T ＝6π，φ＝π6

D ．T ＝6π，φ＝π3

解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6， ∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12

. ∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.

[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ⎝

⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3，

T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2，

∴y ＝3sin(2x ＋φ)．

∵点⎝⎛⎭

⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭

⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3

＋k π(k ∈Z)． ∵|φ|<π2，∴φ＝π3

. ∴y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]

由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，

∴⎩⎨⎧

πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]

由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6

个单位长度而得，

所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3

.

[活学活用]

如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)

的图象的一部分，试求该函数的解析式．

解：由图可得：A ＝3，T ＝

2|MN |＝π.从而ω＝2πT

＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，

将M ⎝⎛⎭⎫π3，0代入得sin ⎝⎛⎭

⎫2π3＋φ＝0， 取φ＝－2π3

，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.

[典例] 在函数y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6

(k ∈Z) ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭

⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭

⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭

⎫π12，0 [一题多变]

1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y 轴最近的一条对称轴方程．

解：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24

， 取k ＝0时，x ＝－π24

满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？

解：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝14k π－π24

， 取k ＝0时，x ＝－π24

. 则所求对称中心为⎝⎛⎭

⎫－π24，0.

三角函数对称轴、对称中心的求法

层级一 学业水平达标

1．简谐运动y ＝4sin ⎝

⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )

A ．5x －π3，π3

B ．5x －π3，4

C ．5x －π3，－π3

D ．4，π3

解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3

. 2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6

的函数表达式是( ) A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭

⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝

⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6

，排除C. 3．函数y ＝12sin ⎝

⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2

B ．x ＝π2

C ．x ＝－π6

D ．x ＝π6

解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6

. 4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝

⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭

⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3

.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8

对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称

解析：选A 依题意得T ＝2πω

＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8

对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4

对称．故选A. 6．y ＝－2sin ⎝

⎛⎭⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________. 解析：∵y ＝－2sin ⎝

⎛⎭⎫3x －π3 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫3x －π3＝2sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋2π3， ∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3

， ∴T ＝2πω＝2π3

. 答案：2

2π3 2π3 7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝

________.

解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3

. ∴ω＝2πT ＝32

. 答案：32

8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12

时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12

时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为______________________． 解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2

， ∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.

∴f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3. 答案：f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3 9．求函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12

(k ∈Z)．

令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6

(k ∈Z)． 即对称轴为直线x ＝k π2＋π12

(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)． 10．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相．

解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，

∴ω＝2πT ＝2π8＝π4

，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭

⎫－π4＋φ. ∵|φ|＜π2，∴φ＝π4

， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.

(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4

＝8， 频率为18，振幅为2，初相为π4

. 层级二 应试能力达标

1．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6

，值域为[－1,3]，则函数f (x )的解析式为( )

A ．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π6＋1 B ．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π6－1 C ．y ＝－2sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π6－1 D ．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫3x －π6＋1 解析：选A ∵－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3，

∴A ＝2，B ＝1，

∵T ＝2πω＝2π3

， ∴ω＝3，又φ＝π6

， 故f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π6＋1. 2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝(

)

A ．－1

B ．1

C ．12

D ．－12

解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4

.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4

(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4

.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 017π4＋7π4＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1. 3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π6，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A ．⎩⎨⎧⎭

⎬⎫xk π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C ．⎩

⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：选B ∵f (x )≥1，即2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12

， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6

＋2k π，k ∈Z. 解得π3

＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z. 4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3

对称，它的周期是π，则( )

A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭

⎫0，12

B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数

C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0

D ．f (x )的最大值是A

解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.

又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3

对称， ∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6

. ∴f (x )＝A sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f (x )图象过点⎝⎛⎭

⎫0，A 2. 又当x ＝5π12时，2x ＋π6

＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， ∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．

5．在函数y ＝－2sin ⎝

⎛⎭⎫4x ＋23π的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．

解析：当y ＝0时，sin ⎝

⎛⎭⎫4x ＋2π3＝0， ∴4x ＋2π3

＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝k 4π－π6

，k ∈Z ， 取k ＝0，则x ＝－π6，取k ＝1，则x ＝π12

， ∴离原点最近的交点坐标⎝⎛⎭⎫π12，0.

答案：⎝⎛⎭⎫π12，0

6．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴方程为x ＝π6

，则实数ω的值为________．

解析：令ωx ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数图象的对称轴方程为x ＝k ωπ＋π4ω

，k ∈Z. 根据题意得k ＝0，所以π4ω＝π6，解得ω＝32

. 答案：32

7．已知函数f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2

. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；

(2)将函数f (x )的图象向右平移π6

个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．

解：(1)∵f (x )为偶函数，

∴φ－π6＝k π＋π2

(k ∈Z)， ∴φ＝k π＋2π3

(k ∈Z)． 又0＜φ＜π，∴φ＝2π3

， ∴f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2

， ∴T ＝2πω＝2×π2

， ∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，

∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭

⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6

个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，

所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos 2⎝⎛⎭

⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1.

当2k π≤x 2－π3

≤2k π＋π(k ∈Z)， 即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3

(k ∈Z)时，g (x )单调递减． ∴函数g (x )的单调递减区间是⎣

⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3 (k ∈Z)．

8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．

(1)求f (x )的解析式；

(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25

. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭

⎫π4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10

， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭

⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25

(x ＋m )－π10＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，

知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2

，k ∈Z. ∵m >0，∴m min ＝3π2

. 故把f (x )的图象向左至少平移

3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．