中小学资料

学习永无止境 二 一般形式的柯西不等式

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．已知x 2＋y 2＋z 2＝1，则x ＋2y ＋2z 的最大值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析：由柯西不等式得

(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9，

所以－3≤x ＋2y ＋2z ≤3.

当且仅当x ＝y 2＝z 2

时，等号成立． 所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3.

答案：C

2．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )

A ．1

B ．n

C ．n 2

D ．1n 解析：设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ，

由柯西不等式，得

(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥⎝

⎛⎭⎪⎫x 1×1x 1＋x 2×1x 2＋…＋x n ×1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号．

答案：C

3．设a 、b 、c 为正数，则(a ＋b ＋c )·(4a ＋9b ＋36c

)的最小值为( ) A ．11

B ．121

C ．49

D ．7

解析：(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c ≥⎝ ⎛ a ·4a ＋b · ⎭⎪⎫9b ＋c ·36c 2＝121.

答案：B 4．设a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝9，则4a ＋9b ＋16c

的最小值为( ) A ．81 B ．9

中小学资料

学习永无止境 C ．7

D ．49

解析：考虑以下两组向量： u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a

，3b ，4c ，v ＝(a ，b ，c )． 由(u ·v )2≤|u |2·|v |2得

⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a ·a ＋3b ·b ＋4c ·c 2 ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫4a ＋9b ＋16c (a ＋b ＋c )， 当且仅当a 24＝b 29＝c 2

16，即a ＝2，b ＝3，c ＝4时取等号， 可得⎝ ⎛⎭

⎪⎫4a ＋9b ＋16c ·9≥(2＋3＋4)2＝81， 所以4a ＋9b ＋16c ≥819

＝9. 答案：B

5．设非负实数α1，α2，…，αn 满足α1＋α2＋…＋αn ＝1，

则y ＝

22－α1＋22－α2＋…＋22－αn －n 的最小值为( ) A.n 2n －1 B ．n 2n ＋1

C.n ＋12n －1

D ．2n 22n －1 解析：为了利用柯西不等式，注意到

(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )＝2n －(α1＋α2＋…＋αn )＝2n －1， 所以(2n －1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn ＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )]·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－α1·12－α

1＋2－α2·12－α2＋…＋2－αn ·

12－αn 2＝n 2， 所以y ＋n ≥2n 22n －1，y ≥2n 22n －1－n ＝n 2n －1

. 等号当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝1n 时成立，从而y 有最小值n 2n －1

. 答案：A

6．同时满足2x ＋3y ＋z ＝13,4x 2＋9y 2＋z 2－2x ＋15y ＋3z ＝82的实数x 、y 、z 的值分别为______，______，________.