第九章 两变量回归

与相关

主要目的：对两个随机变量间 的关系作量化研究

第一节

直线回归

一、直线回归的概念 直线回归研究的是双变量的数量关 系，有两种情况： (1)一个变量是选定变量； 另一变量是随机变量。 (2)两个变量都是随机的。

回归关系

描述变量间的依存关系

首先，在直角坐标系中绘制散点图，观 察是否有直线趋势，但并不是要求所有的点 都在一条直线上。

回归方程与线性函数的区别：线性函数要求变量间有严格的函数 关系──一一对应。

Y · · · · · ·

P ·Y Y Y Y · · · ·Y

·

Y Y

X

Y a bX条件：Y正态分布

(9-1)

二、直线回归方程的求法( 最小二乘法原理( Y i Y i) 达最小):b l lXY XX

2

( X X )(Y Y ) (X X )2

(9-3)

a Y bX

(9-4)

l

XY

XY

( X )( Y ) n(9-5)

例 9-1 某地方病研究所调查了 8 名正 常儿童的尿肌酐含量 (mmol/24h) 如表 9-1。 估计尿肌酐含量(Y)对其年龄(X)的回 归方程。表 9-1 8 名正常儿童的年龄 X(岁)与尿肌酐含量 Y (mmol/24h)

编 号 X Y

1

2

3

4

5

6

7

8

13 11 9 6 8 10 12 7 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65

X X / n 76 / 8 9.5

Y Y / n 23.87 / 8 2.9838

l

XX

764 76 / 8 422

Y 1.6617 0.1392 X

lYY=72.2683-23.872/8=1.0462 lXY=232.61-76×23.87/8=5.8450 b=5.8450/42=0.1392,a=2.9838-0.1392×0.95 =1.6617

三、直线回归中的统计推断

(一)假设检验1.方差分析 2

Y Y (Y Y ) (Y Y ) (Y Y ) Y Y Y Y 2 2

SS 总=SS 回+SS 残

(9-6)

H0:β=0, H1:β≠0,α=0.05 SS 回= l XY / l XX =5.8452/42=0.8134 表 9-2变异来源2

例 9-1 的方差分析表 df 7 1 6 SS MS F P 1.0462 0.8136 0.8134 20.97 <0.01 0.2328 0.0388

总变异 回归 残差

2.

t 检验Y X

S

0.2328 0.1970 n 2 8 2残

ss

S S lb

Y X XX

0.1970 0.0304 42

t=b/Sb=0.1392/0.0304=4.579 t 0.005/2,6=4.317<4.579<5.208=t 0.002/2,6 0.002<P<0.005,…

(二) β的可信区间 b±tα/2,υSb=0.1392±2.447×0.0304 =(0.0648,0.2136) (三) 估计和预测

Y X 0 Y 0 的区间估计 1.

SY S 0

Y X

(X 0 X ) 1 n

2

X X2

2

(9-14)

1 (12 9.5) 0.1970 0.1031 8 42

Y 0 t / 2, S

Y0

(9-15)

Y

1.6617 0.1392 12 3.33210

3.3321±2.447×0.1031=(3.080,3.584)

2.

个体 Y 值的预测区间Y X

SY S0

1 1 n

( X 0 X ) (X X )2

2

2

,(9-16)

1 (12 9.5) 0.1970 1 0.2223 8 42

Y

0

t / 2, S

Y0

(9-17)

3.3321±2.447×0.1031=(2.788,3.876)

第二

节

直 线 相 关

一、直线相关概念

主要目的：对两个随机变量间的关

系作量化研究

适用于双变量正态分布变量线性相关(linear correlation )

简单相关(simple correlation)

相关系数r表示两个变量间直线相关关系的方向与 密切程度。

线性相关的性质可由散点图来直观地说明。