期末考试试题及答案

2 dSadxdy

2 a

d 故 2200za x y Dxy

d 122 2 a ln(a ) a2 22 0

a

2 aln..【7】

h

三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M

到原点的距离为d

令L(x,y,z) x

2

【1】

y2 z2 (z x2 y2) (x y z 1)，

Lx 2x 2 x 0

L 2y 2 y 0y 1

Lz 2z 0，解得x y

则由 z 2

2 z x2 y2

x y z 1

M1(

1 1 1 1,2M2(…………………【7】 2222

又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故dmax

|OM2| dmin |OM1| ……【9】

四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

I2

而I1

xx2

．………………【5】 (esiny m)dx (ecosy mx)dy md ma 8DL OA

(esiny m)dx (ecosy mx)dy m dx ma…………【8】

xx

a

L(exsiny m)dx (excosy mx)dy I2 I1 ma

8

ma2. ………………………【10】

an 1n3n1

lim R 3，收敛区间为 ( 3,3)…………【2】 五、【10分】解： lim

n an n 13n 13n

1 ，收敛．……【4】 1

又当x 3时，级数成为 ，发散；当x 3时，级数成为

nn 1n 1n

n

故该幂级数的收敛域为

3,3 ………【5】

xn

令s x n（ 3 x 3），则

n 1n3

xn 11 xn 1111

, (|x| 3) ……【8】 s (x) n ()

3n 1331 x/33 xn 13

期末考试试题及答案

于是s(x)

x0

s (x)dx

xdx

（ 3 x 3）………………….【10】 ln 3 x 0 ln3 ln 3 x ，

03 xx

22

六、【10分】解：取 1为z 0(x y 1)的下侧，记 与 1所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，

有I2

1

2x3dydz 2y3dzdx 3 z2 1 dxdy 6 x2 y2 z dv………….… 【5】

而I1

6 d d

2 1

1 20

2

z dz 2 …………………….…【7】

2x3dydz 2y3dzdx 3 z2 1 dxdy 3 z2 1 dxdy 3

1

1

x2 y2 1

dxdy 3 ….… 【9】

I I2 I1 2 3 .…………………….… 【10】

七、【6分】解：F t

2 02

r2dr….… 【2】 d sin d rcos fr 0

4

t

tt 32244

2 sin cos d rdr sin d

f r rdr

0000

t4

2 8

22

rfrdr….… 【4】 0

t

t3 2 t2f(t2)

F

t 2 2 limf(t2) 2 a. 【6】

故lim3 limt 0 tt 0 t 0 3t233