全等三角形

中考要求

课前预习

一、全等的概念

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形A'B'C'D'E'． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

A

E

E'

B

C

D

B'

C'

D'

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

二、全等的性质和判定

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS

已知两边 找直角 HL

找另一边 SSS

边为角的对边→找任意一角→AAS

找这条边上的另一角→ASA

已知一边一角

边就是角的一条边 找这条边上的对角→AAS

找该角的另一边→SAS

找两角的夹边 ASA

已知两角

找任意一边 AAS

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． ⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

例题精讲

【例1】 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．

【例2】 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等．

A．两边和其中一边的对角对应相等 B．三个角对应相等 C．两角和一组对应边相等 D．两边及第三边上的高对应相等

【例3】 下列命题错误的是（ ）

A．全等三角形对应边上的高相等 B．全等三角形对应边上的中线相等 C．全等三角形对应角的角平分线相等

D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等

【例4】 不能确定两个三角形全等的条件是（ ）

A．三边对应相等 B．两边及其夹角相等 C．两角和任一边对应相等 D．三个角对应相等

【例5】 如图，图中有两个三角形全等，且 A D，AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是（ ）

A

D

B

EC

A．△ABC≌△DEF B．△ABC≌△DFE C．△BAC≌△DEF D．△ACB≌△DEF

【例6】 已知△ABC≌则AB ， EF 12cm，△DEF，△DEF的周长为32cm，DE 9cm，

BC，AC ．

【例7】 如图，△ABC中，AB AC，AD平分 BAC，则 ≌

A

BDC

【例8】 斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是 ，底边和腰相等的两个等腰三角形

全等的根据是 ．

【例9】 如图，AC AB，AD平分 CAB,E在AD上，则图中能全等的三角形有 对．

A．1 B．2 C．3 D．4

C

A

E

D

B

【例10】 如图，△ABC中，D、E是BC边上两点，AD AE，BE CD， 1 2 110 ， BAE 60， 则

CAD等于（ ）

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