习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间 （1）V1 {A (aij)n n|

n

a

i 1

ii

0}，对矩阵加法和数乘运算；

（2）V2 {A|A Rn n,AT A}，对矩阵加法和数乘运算；

（3）V3 R3；对R中向量加法和如下定义的数乘向量： R,k R,k 0； （4）V4 {f(x)|f(x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R上线性空间

（3）不是，由线性空间定义，对 0有1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若k<0，则kf(x) 0，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间V {A R解：一组基

1 0 0

.

0 1 0

.

.

0

. 0

0

0 0

.

01 10 0

.

.

1

1 0

0 10

.

.

0

. 0

0

0 0

.

1

1 . 0

n n3

3

|AT A}的维数和一组基。

......

dimW=n(n+1)/2

3.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且U1 U2，证明：U1=U2。 证明：因为dimU1=dimU2，故设

1, 2,, r 为空间U1的一组基， 1, 2,, r 为空间U2的一组基

U2，有

1 2

而

1 于是

2

r X

r 1

2

r C，C为过渡矩阵，且可逆

1 2

由此，得

r X 1 2 r C 1X 1 2 r Y U1

U2 U1

又由题设U1 U2，证得U1=U2。

111 T

4.设A 213，讨论向量 (2,3,4)是否在R(A)中。

315 111|2 111|2

解：构造增广矩阵 A| 213|3 0 11| 1

315|4 000|0

矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量 可由矩阵A的3个列向量线性表示， 在列空间R(A)

中。

5.讨论线性空间

3232

P4[x]中向量P2 2x x 3x，1 x x x 1，P

32

P3 4x x 5x 2的线性相关性。

10

323 1解： PPP (1xxx)123 1 1

12

而

2 5 1 4

10

13 1 1

122 1 5 0 01

4 002

11

，该矩阵秩为2 00 00

所以向量组P1,P2,P3线性相关。

6.设A R

m n

，证明dimR(A)+dimN(A)=n。

证明：R(A) L{A1,A2,,An}，N(A) {X|AX 0,X Rn}

,Ar为R(A)的一组基

,n) ，其中k1i,k2i,

,n)

假定dimR(A)=r，且设A1,A2,则存在 k1i,k2i,使k1iA1 k2iA2 显然

,kri

(i r 1,

,kri不全为零

kriAr Ai 0(i r 1,

k1,r 1 k2,r 1 kr,r 1

1 0 0 k1,r 2

k2,r 2 k r,r 2 0 1 0 k1,n

k2,n k r,n N(A) 0 0 1

上述n-r个向量线性无关，而 k1,k2,

,ks 1,1,0,

0 ，s<r不为N(A)中的向量，否则与

T

A1,A2,,Ar线性无关矛盾，故

dimN(A)=n-r

所以

dimR(A)+dimN(A)=n

1 130

7.设A 21 21，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。

1 152

解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形

1 130 1 130 A 21 21 0 141

1 152 0000

矩阵A的秩为2，从A中选取1、2列（线性无关）作为R(A)的基，于是 R(A) L

1 2 1 ,

T

1 1

T

1

由AX 0，X (x1,x2,x3,x4)T，rank(A)=2，有

3x3 x1 x2

x 4x x34 2

分别取x3 1,x4 0和x3 0,x4 1，求得齐次方程AX 0解空间的一组基

1410 , 1101

所以A的零空间为 N(A) L

TT

1

41

0

T

,11

0 1

T

8.在R

2 2

中，已知两组基

10 01 00 00 E1 E E E ，，，234

00 00 10 01 10 11 11 01 G1 ，G3 ，G4 ，G2

11011011

求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵 解： G1

01

在基{Gi}下的坐标X。

2 3

E3

E4 C1C2

C3

C4 ,Ci R4

G2G3

G4 E1

E2

由此，得过渡矩阵

0 1

C

1 1

再由

111

011

101

110

01 01 10 11 11

x x x x 1 2 3 4

2 3 11 11 01 10

解得 X 0

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）W1 { (x,y,z)|x2 y2 z2 1,x,y,z R}； （2）W2 {A|A2 I,A Rn n}； （3）R中，W3 { (x1,x2,x3)|（4）W4 {A (aij)m n|

3

3

1 2

3

T

t

(x1 2 x2 x3}d 0}；

a

i 1j 1

mn

ij

0}。

解：（1）不是R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2， (10 k (2

0)T，

T

0)x2 y2 z2 4 1，k W1。 ，而

（2）不是子空间，因为W2中没有零元。

（3）、（4）为子空间。

10.设 1 (1,2,1,0)T， 2 ( 1,1,1,1)T， 1 (2, 1,0,1)T， 2 (1, 1,3,7)T，

W1 span{ 1, 2}，W2 span{ 1, 2}，求W1 W2和W1 W2。

解：设 W1 W2，则

x1 1 x 2且2 x3 1 x4 2

于是，有

x1 1 x 22 x 3 1x 4 02

1 1 2 1 即 2111 x1 0 x 2 0 110 3 x 01 1 7 3 x 0 4 0

而

1 1 2 1 1 1 2 1

A

2111 01 1 110 3 001

7

3

01 1

7 000

0

取x4 1，得

x1 1,x2 4,x3 3x,4 1

所以

W1 W2 L 1 1 4 2 L 3 1 2

由于rank(A)=3

则 W1 W2 L ,1 ,2 1

11.在矩阵空间R

2 2

中，子空间

V x

1

x2 1 {A xx |x1 x2 x3 x4 0}，V2 L{B1,B2}，其中B1 134 2B 0 2

2 01 ，求

（1）V1的基和维数；

（2）V1 V2和V1 V2的维数。

0

3 ，

解：（1）V1中， …… 此处隐藏：6488字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……