习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间 （1）V1 {A (aij)n n|

n

a

i 1

ii

0}，对矩阵加法和数乘运算；

（2）V2 {A|A Rn n,AT A}，对矩阵加法和数乘运算；

（3）V3 R3；对R中向量加法和如下定义的数乘向量： R,k R,k 0； （4）V4 {f(x)|f(x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R上线性空间

（3）不是，由线性空间定义，对 0有1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若k<0，则kf(x) 0，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间V {A R解：一组基

1 0 0

.

0 1 0

.

.

0

. 0

0

0 0

.

01 10 0

.

.

1

1 0

0 10

.

.

0

. 0

0

0 0

.

1

1 . 0

n n3

3

|AT A}的维数和一组基。

......

dimW=n(n+1)/2

3.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且U1 U2，证明：U1=U2。 证明：因为dimU1=dimU2，故设

1, 2,, r 为空间U1的一组基， 1, 2,, r 为空间U2的一组基

U2，有

1 2

而

1 于是

2

r X

r 1

2

r C，C为过渡矩阵，且可逆

1 2

由此，得

r X 1 2 r C 1X 1 2 r Y U1

U2 U1

又由题设U1 U2，证得U1=U2。

111 T

4.设A 213，讨论向量 (2,3,4)是否在R(A)中。

315 111|2 111|2

解：构造增广矩阵 A| 213|3 0 11| 1

315|4 000|0

矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量 可由矩阵A的3个列向量线性表示， 在列空间R(A)

中。

5.讨论线性空间

3232

P4[x]中向量P2 2x x 3x，1 x x x 1，P

32

P3 4x x 5x 2的线性相关性。

10

323 1解： PPP (1xxx)123 1 1

12

而

2 5 1 4

10

13 1 1

122 1 5 0 01

4 002

11

，该矩阵秩为2 00 00

所以向量组P1,P2,P3线性相关。

6.设A R

m n

，证明dimR(A)+dimN(A)=n。

证明：R(A) L{A1,A2,,An}，N(A) {X|AX 0,X Rn}

,Ar为R(A)的一组基

,n) ，其中k1i,k2i,

,n)

假定dimR(A)=r，且设A1,A2,则存在 k1i,k2i,使k1iA1 k2iA2 显然

,kri

(i r 1,

,kri不全为零

kriAr Ai 0(i r 1,

k1,r 1 k2,r 1 kr,r 1

1 0 0 k1,r 2

k2,r 2 k r,r 2 0 1 0 k1,n

k2,n k r,n N(A) 0 0 1

上述n-r个向量线性无关，而 k1,k2,

,ks 1,1,0,

0 ，s<r不为N(A)中的向量，否则与

T

A1,A2,,Ar线性无关矛盾，故

dimN(A)=n-r

所以

dimR(A)+dimN(A)=n

1 130

7.设A 21 21，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。

1 152

解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形

1 130 1 130 A 21 21 0 141

1 152 0000

矩阵A的秩为2，从A中选取1、2列（线性无关）作为R(A)的基，于是 R(A) L

1 2 1 ,

T

1 1

T

1

由AX 0，X (x1,x2,x3,x4)T，rank(A)=2，有

3x3 x1 x2

x 4x x34 2

分别取x3 1,x4 0和x3 0,x4 1，求得齐次方程AX 0解空间的一组基

1410 , 1101

所以A的零空间为 N(A) L

TT

1

41

0

T

,11

0 1

T

8.在R

2 2

中，已知两组基

10 01 00 00 E1 E E E ，，，234

00 00 10 01 10 11 11 01 G1 ，G3 ，G4 ，G2

11011011

求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵 解： G1

01

在基{Gi}下的坐标X。

2 3

E3

E4 C1C2

C3

C4 ,Ci R4

G2G3

G4 E1

E2

由此，得过渡矩阵

0 1

C

1 1

再由

111

011

101

110

01 01 10 11 11

x x x x 1 2 3 4

2 3 11 11 01 10

解得 X 0

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）W1 { (x,y,z)|x2 y2 z2 1,x,y,z R}； （2）W2 {A|A2 I,A Rn n}； （3）R中，W3 { (x1,x2,x3)|（4）W4 {A (aij)m n|

3

3

1 2

3

T

t

(x1 2 x2 x3}d 0}；

a

i 1j 1

mn

ij

0}。

解：（1）不是R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2， (10 k (2

0)T，

T

0)x2 y2 z2 4 1，k W1。 ，而

（2）不是子空间，因为W2中没有零元。

（3）、（4）为子空间。

10.设 1 (1,2,1,0)T， 2 ( 1,1,1,1)T， 1 (2, 1,0,1)T， 2 (1, 1,3,7)T，

W1 span{ 1, 2}，W2 span{ 1, 2}，求W1 W2和W1 W2。

解：设 W1 W2，则

x1 1 x 2且2 x3 1 x4 2

于是，有

x1 1 x 22 x 3 1x 4 02

1 1 2 1 即 2111 x1 0 x 2 0 110 3 x 01 1 7 3 x 0 4 0

而

1 1 2 1 1 1 2 1

A

2111 01 1 110 3 001

7

3

01 1

7 000

0

取x4 1，得

x1 1,x2 4,x3 3x,4 1

所以

W1 W2 L 1 1 4 2 L 3 1 2

由于rank(A)=3

则 W1 W2 L ,1 ,2 1

11.在矩阵空间R

2 2

中，子空间

V x

1

x2 1 {A xx |x1 x2 x3 x4 0}，V2 L{B1,B2}，其中B1 134 2B 0 2

2 01 ，求

（1）V1的基和维数；

（2）V1 V2和V1 V2的维数。

0

3 ，

解：（1）V1中，A

x1

x3x2 x2 x3 x4

x4 x3x2 11 10 10

x x x 2 3 4 x4 00 10 01

令A1

11 10 10

,A ,A 2 3 ，可验证A1，A2，A3线性无关，它们构成空间001001

V1的一组基，空间V1的维数dimV1=3。

（2）V2 L{B1,B2}中，B1与B2线性无关，它们是V2的一组基，故dimV2=2，而 V1+V2 = L{A1,A2,A3} + L{B1,B2} = L{ A1,A2,A3,B1,B2} 在R

2 2

的标准基E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵

X1

X2X3X4

1 1

10

X5

01

00110 1 1110

00 2 01 1 1 2

020 00132

131 0000 1

于是dim(V1+V2)=4，由维数定理

V() dim1 V2

diVm1 dVi2m dV1i mV(2

) 3 2 41

12.设W1和W2为Vn的子空间，W1 { (x1,x2,

,xn)| xi 0}，

T

i 1

n

W2 { (x1,x2,,xn)T|x1 x2 xn}，证明Vn W1 W2。

证明：对W1，由x1 x2 xn 0，解得

110 X1 k1 110 1

为W1的一组基。 对W2，由x1 x2 X2 k 1111W2的基为 1111于是

0

T

T

k2 1010

T

0

nk

1 1000 100 0

T

T

1

显然W1的维数dimW1=n-1，而向量组

0 ,2 1010

xn，解得

T

0 n ,1

1

1

1 ，dimW2=1

, n 1 L L 1, 2,

, n 1,

T

T

W1 W2 L 1, 2,

这里

1 1010

1001

(1 det ,2, ,n

1

1

,0)

所以

1, 2,, n

1

, 为W1+W2的基，则dim (W1+W2)=n，由维数定理可知

dim(W1 W2) 0，故有

Vn W1 W2

13.R中， ( 1, 2,为内积。 （1）( , )

n

, n)T， ( 1, 2,, n)T，判别下面定义的实数( , )是否

i

i 1

n

i

；

（2）( , )

i

i

i 1

n

i

；

（3）( , ) A ，其中A为正定矩阵。

n

解：（1）不是R上的内积。设 1 a1

T

a2

an ， 2 a1 a2bn

T

T

an

T

b1b2

于是

n

n

n

1 2, (ai ai )bi aibi ai bi aibi ai bi

i 1

i 1

i 1

i 1

n

( 1, 2, )

内积的线性性不满足。

（2）与（3）是R上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。

13.设{ 1, 2,

n

, 5}是V5的标准正交基，又 1 1 5， 2 1 3 4，

3 2 1 2 3，求W L{ 1, 2,

3}的标准正交基。

解：W的标准正交基

1

000

1

T

1 0

2 2

T

1

,2

11 1 0

T

1

14.在欧氏空间R4中，求子空间W L{(1,1, 1,1),(1, 1, 1,1)}的正交补子空间W。

⊥

TT

解：设X x1

x2x3

x4 W

T

令 1 (11 11)T, 2 (1 1 11)T 由

X 1,X 2

得

0 x1 x2 x3 x4 x x x x 0234 1

解得

1 1

00

X ,

1 0 0 1

所以

W L 1010 , 1001

15.判断下列变换哪些是线性变换

2T

（1）R2中，T(x1,x2)T (x1 1,x2)；

TT

（2）R3中，T(x1,x2,x3)T (x1 x2,x1 x2,2x3)T； （3）R（4）R

n n

中，A为给定n阶方阵， X R

n n

，T(X) AX A；

2 2

中，T(A) A，A为A的伴随矩阵。

解：（1）不是，该变换为非线性变换 设

1 x1

则

x2 ， 2 y1

T

y2

T

T

T

T

T( 1 2) T(x1 y1x2 y2)T x1 y1 1(x2 y2)2 x1 1x22 y1 1y22 T( 1) T( 2)

（2）是线性变换

（3）不是，因有T 0 0 （4）是线性变换

A 而

a1 a3a2 b1b 22 2

,B R a4 b3b4

a b1a2 b 2 a 4bT(A B) T 1

a3 b3a4 b4 a3 b3 ka

T(kA) T 1

ka3

ka2 ka4

ka4 ka3

4

a b2 2 a

a1 b1 a3 2b4a

a1 b3 b4 2** A B T(A) T(B)b1

ka2 a4

k ka1 a3 a2 *

kA kT(A)a1

16.设R3中，线性变换T为：T i i，i=1,2,3，其中 1 (1,0, 1)T， 2 (2,1,1)T，

3 (1,1,1)T， 1 (0,1,1)T， 2 ( 1,1,0)T， 3 (1,2,1)T，求

（1）T在基{ 1, 2, 3}下的矩阵； （2）T在标准正交基下的矩阵。 解：（1）由T 1得 1于是

2 3 1 2 3 A及T 1 2 3 1 2 3

2

3A 1

2

3

A 1 2 3

1

1

2

121 0 11 011

3 011112 1 3 2

111 101 244

T

T

T

1

3

（2）R中标准基正交基e1 100 ,e2 010 ,e3 001

由

T e1

e2

e3 e1

e2

e3 A

T i i

得

,i 1,2,3

T 1 T e1T 2 T e1T 3 T e1

因为

e2e2e2

e3 10 1 e1e3 211 e1e3 111 e1

TT

T

e2e2e2

e3 A 1 1e3 A 2 2e3 A 3 3

e1

故有

e2e3 I3

于是

A 1

2

3 1

2

3

0 1

1

3 11

10

1 2 1 1 0 1

2

11

1

A 1

2

13

2

1 2

1 1 11

5

5 4

2

2 2

17.设线性变换R R，有

T(x1,x2,x3,x4)T (x1 x2 x3 x4,x1 2x2 x4,x1 x2 3x3 x4)T，求N(T)和R(T)。解：由N T {X|T(X) 0,X (x1,x2,x3,x4)T}，得下述齐次方程组

43

x1 x2 x3 x4 0

x1 2x2 x4 0

x x 3x x 0

234 1

解得X k 2所以

N T {X=k 2

314

T

T

314 }

由R T {Y|Y T(X),X (x1,x2,x3,x4)T}，得

x1 x2 x3 x4 1 1 1 1

x 2x x x1 x2 x0 x Y 24 1 1 2 3 4 1 x x 3x x 1 1 3 1

234 1

1 1 1 1

故有 R(T) k1 1 k2 2 k3 0 k4 1

1 1 3 1

1 1 1

或R(T) k1 1 k2 2 k3 0

1 1 3

18.在欧氏空间Rn中，设有两组基 1, 2,

, n与 1, 2,, n，满足关系式

( 1, 2,, n) ( 1, 2,, n)P，P Rn n

, n都是标准正交基，则P是正交阵；

证明：（1）若 1, 2,, n与 1, 2,

（2）若 1, 2,, n是标准正交组，P是正交阵，则 1, 2,

,n ,p)1p

p,n ,

, n是标准正交组。

证明：（1）将矩阵P按列分块，有 ( 1, 2,其中

, )n (1 ,2

2

,

i 1 2

于是

n pi

,i 1,2,

,n

, j iT j piT 1 i

故矩阵P为正交矩阵。

n 1

T

n pj piTpj

1,i j

0,i j

（2）与（1）证明过程类似，可证明 1, 2,

, n是标准正交基。

习题二

1.设A、B为n阶方阵， 1, 2,（1）tr(AB)=tr(BA)； （2）tr(A)

k

, n是A的特征值，证明

i 1

n

ki

；

（3）若PAP B，则tr(A) tr(B) 证明：（1）设A aij

n

1

。

ii 1

n

n n

，B bij

n n

，则

n n n

tr AB aijbji bjiaij tr(BA)

i 1 j 1 j 1 i 1

（2）因为AXi iXi，A2Xi A AXi iAXi i2Xi，……，AkXi ikXi

k

故 1k, 2,

, nk为Ak的特征值，于是

tr(A)

k

i 1

n

k

i

（3）由结论（1），得

(B) tr

1

t(r 1PA) P t P r P A

tr

1

A P( )trA P

2.设n阶方阵A (aij)n n，且

a

j 1

n

ij

i=1,2,…,n，证明A的每一个特征值 的绝对值 1。 1，

证明：设有AX X，X x1对AX X中第k个方程 xk 于是 即有

3.设三阶方阵

x2

xn ，并设xk max x1

T

x2

xn

a

j 1

n

kj

xj

xk

a

j 1

n

kj

xj akjxj

j 1

n

a

j 1

n

xjxk

kj

akj 1

j 1

n

1 11 A x4y

3 35

的二重特征值 2对应有两个线性无关特征向量，

（1）求x与y；

（2）求P，使PAP 。

解：（1）因齐次方程 2I A X 0的解空间维数为2，则矩阵 2I A 的秩为1 而

1

1 1 1 11 1

x 2 y 0x 2 x y 2I A 3 3 3 00 0

因rank 2I A 1 故有x 2,y 2。

1 11

4 2（2）A 2 3 35

A的特征多项式

I A 2 6

2

特征值

1 2 2， 3 6

由 2I A X 0，求得特征向量 T

T

1 1 10 , 2 101 由 6I A X 0，求得特征向量 3 1 23 T

于是

111 P 10 2 013

且有

200P 1AP

020

006

4.设a1与a2是An n的两个不同特征值，且有 r(a1I A) r(a2I A) n 证明矩阵A可对角化。

证明：设rank(a1I A) r,rank(a2I A) n r 对于(a1I A)X 0有n - r个线性无关特征向量 对于(a2I A)X 0有 r个线性无关特征向量

于是矩阵A有n个线性无关特征向量，所以矩阵A可对角化。

5.设R3

中， (x31,x2,x3)T R，线性变换T

T(xT1,x2,x3) (xT1 2x2 2x3,2x1 x2 2x3,2x1 2x2 x3)

求一组基，使T在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。 解：取R3

中的一组标准基 1, 2, 3，则有

x1

x1 x1 2x2 2x3 T( ) T 1 2

3 x2 1 A x 2x x 1 2

3 x3 22 2x 2 x 3 13 2x1 2x 2 x3 2得线性变换T在基 1, 2, 3下的矩阵

22 x112

x

221

x3

122

A 212

221

A的特征多项式特征值

I A 1 5

2

1 2 1， 3 5

T

T

由 I A X 0，解得特征向量 1 110 , 2 101 由 5I A X 0，解得特征向量 T

3 111 于是 1 11 P 1

2

3 10 1 1 ，P 1

AP 1

01 1 5

矩阵P为从基 1, 2, 3到所求基 1, 2, 3的过渡矩阵，于是

1 11

1 2 3 1 2

P 101

3

011

线性变换T在基 1

1, 2, 3下的矩阵为 1 。

5

6.求可逆矩阵P及J，使P 1

AP J，其中

2 1 1

A 2 1 2

112

解：A的特征多项式 I A ( 1)3 特征值为 1 2 3 1

111 x1 0再由 I A X 222 x

2 0 1 1 1

x3 0

解得特征子空间V 1的一组基 T

1 110 , 2 01 1 T

特征向量 k1 1 k2 2 k1

k1 k2

k2

T

k2

由 I A k1 k2

k 3 111

得增广矩阵 222

1 1 1

k1 111

k1 k2 000

k2 000

k2

k2 k1 k1 k2

若方程组 I A 有解（相容，rank(I A) rank I A| ），则有k1=k2。 取k1 = k2 = 1，得 12由 I A 12

1

T

1

0

T

T

解得广义特征向量 10

取P 1则有

111

120

0 10

1

P 1AP 11 J

1

7.设W L{e,xe,xe,e}为函数向量e,xe,xe,e生成的4维空间，T为导数变换， （1）求T在基e,xe,xe,e下的矩阵； （2）找一组基，使T在此基下为Jordan标准形。 解：（1）T

x

x

2x

2x

x

x

2x

2x

xx2x2x

d

，于是 dx

xex

x2ex

1 2x 0e 0 0

100

120 010

002

T ex

xex

x2exe2x exex xex2xex x2ex2e2x ex

1 0xx2x2x

T在基e,xe,xe,e下的矩阵 A

0 0100

120

010

002

1 0 1

（2）PAP

0 0

1

100

0110

，P 010 0 002 0

xex

xxex

0100

0 00

1

0 2 01

xex

12x

xe2

e2x

1 2 3 4 ex

e2x P ex

1 0

线性变换T在基 1, 2, 3, 4下的矩阵为

0 0

100

110

010

002

8.在多项式空间Pn[x]中，T为是Pn[x]的一个导数变换，证明T在任一基下的矩阵不可对角化。 证明：T

d

，于是 dx

d

1xx2 dx

01

002n 1

x 0

0 0

n 1 0

T 1x

x2xn 1 xn 1 012x(n 1)xn 2

1xx2

01

00A 0

0 0

矩阵A的特征值为 1 2

2

n 1 0

n 0

而rank(A) n 1，故A仅有一个特征向量，所以A不可对角化。

2 1 1

100

9.设A 2 1 2，求A。

112

解：由题（6），有