广东省2011届高考数学二轮总复习课件：第04课时 指数函数 对数函数 幂函数

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专题一 函数、导数与不等式

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例1 函 数 y 0 a 1 的 图 象 的 大 致 形 状 是 ( )

切入点： 考察函数的图象应关注特殊点、研究 函数的性质、化归为熟悉的初等函数的图象.

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解 析 ： 数 的 定 义 域 为 { x | x R , x 0}, a x 0 且y x |x| a x 0 xax x

当 x 0时 ， 函 数 是 一 个 指 数 函 数 ， 其 底 数 满 足 0 a 1, 函 数 递 减 ； 当 x 0时 ， 函 数 的 图 象 与 y a 的 图 象 ( x 0x

的 部 分 )关 于 x 轴 对 称 ， 呈 递 增 趋 势 ， 应 选 D .

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1.重视基本函数的图象特征的把握. 2.排除法是处理图象选择题的重要方法.已知 函数的图象特征与所给函数的图象特征不相符 时即可排除.

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变 式1

幂 函 数 y x , 当 a 取 不 同 的 正 数 时 ， 在 区 间 0 ,1 a

上 它 们 的 图 象 是 一 族 美 丽 的 曲 线 ( 如 图 ). 设 点 A 1, 0 , B 0 ,1 , 连 接 A B , 线 段 A B 恰 好 被 其 中 的 两 个 幂 函 数 y x , y x 的 图 象 三 等 分 ， 即 有 B M M N N A, 那 么

等于A. 1 C. 3

B. 2 D. 无 法 确 定

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1 2 2 1 解 析 ： 方 法 1 : 由 已 知 条 件 ， 得 M ( , ), N ( , ), 3 3 3 3 2 1 1 2 可 得 ( ) , ( ) , 即 lo g 2 , lo g 1 . 3 3 3 3 3 3 3 3

1

2

lo g 23

1 3

lo g 13

2 3

lg lg

1 3 2 3

lg lg

2 3 1. 1 3

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2 1 方 法 2: 由 方 法1得 ( ) , ( ) , 3 3 3 3

1

2

则( ) 3

1

[( ) ] ( ) , 3 3 3

1

2

1

1.

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例 2 ( 2 0 0 9 辽 宁 卷 )下 列 4 个 命 题 1 x 1 x p 1: x ( 0, ), ) ( ( ) 2 3 p 2: x

0 ,1 ,

lo g

1 2

x lo g

1 3

x

1 x 1 p 3: x ( 0, ), ) ( lo g x 2 2 1 x 1 p 4: x ( 0, ( ), ) lo g x 2 3 其 中 的 真 命 题 是 ( ) A . p 1, p 3 C . p 2, p 3 B . p 1, p 4 D . p 2, p 4

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切入点： 本题主要考查幂函数、指数函数、 对数函数的图象与性质，可借助其图象和 性质进行判断.

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解 析 ： 对 于 p 1: (0, ), 幂 函 数 y x 在 (0, ) 上 为 增 函 数 ， 又 1 2 1 , ( ) ( ) , 3 2 3a a

1

1

故 p 1为 假 命 题 ；

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对 于 p 2: 作 出 y lo g 1 x 与 y lo g 1 x的 图 象 ， 如 下 图 .2 3

由 图 象 可 知 ， 对 x 0 ,1 , 都 有 lo g 1 x lo g 1 x,2 3

故 p 2为 真 命 题 .

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对 于 p 3, 作 出 y (

1 2

) 与 y lo g 1 x的 图 象 ， 如 下 图 .x 2

1 x 由 图 象 知 ， 当 x ( 0, x 0 )时 ， ) lo g 1 x; ( 2 2 1 x 当 x ( x 0, ), )

lo g 1 x, ( 2 2 故 p 3是 假 命 题 .

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1 1 x 对 于 p 4, x (0, ), ) 1 ; ( 3 2 1 1 lo g 1 x 在 (0, ) 上 为 减 函 数 ， lo g 1 x lo g 1 1. 3 3 3 3 3 1 1 x x (0, ), ) lo g 1 x 为 真 命 题 . ( 3 2 3 由 以 上 推 理 可 知 ， 真 命 题 为 p 2 和 p 4, 故 选 D .

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1.涉及幂、指、对的大小关系的判断，要注意 构造适当的函数模型，利用相应的图象与性质 进行分析. 2.对幂、指、对三种函数的图象和性质要注意 掌握下述结论： (1)幂函数y=xa ,当a>0时，在(0,+∞)上递增； 当a∈(-∞,0)时，在(0,+∞)上递减. (2)指数函数y=ax 与对数函数y=logax(a>0a 1)互 为反函数，在各自的定义域内具有相同的单调 性，即当a>1时，都为增函数；当0<a<1时，都 为减函数.

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(3)底数a变化对指数函数、对数函数图象的影 响. 当a>1时，底数越大，y=ax的图象在第一象限越 接近y轴；y=logax的图象在第一象限越接近x轴 (如下图);

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当0<a<1时，底数越小，y=ax的图象在第二象 限越接近y轴；y=logax的图象在第四象限越接 近x轴(如下图).