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1 第17章 四边形

17.1 多边形

*17.1.1 若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（ ）

（A ）不存在 （B ）只有一个

（C ）有限个，但不只一个 （D ）有无穷多个

*17.1.2 下列命题中，正确的个数是（ ）

（1）四边形的四个内角都是锐角；

（2）四边形的四个内角至少有一个角是锐角；

（3）四边形的四个内角至少有一个不是钝角；

（4）四边形必有一对对角之和不小于平角.

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

*17.1.3 在一个凸n 边形中，除一个角外，其余角之和为8940°，则n 等于（ ）.

（A ）60 （B ）51 （C ）52 （D ）53

**17.1.4 凸n 边形有且仅有三个内角是钝角，n 的最大值是( )

（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5

（A ）60 （B ）51 （C ）52 （D ）53

*17.1.5 如图所示，∠A 1＝∠A 2＝∠A 3＝∠A 4＝∠A 5＝135°，∠A 6＝∠A 8＝90°，如果我们称大于180°的角为“优角”，则优角∠A 7的度数为 .

A 5A 4

63A A 1

**17.1.6 已知凸n 边形A 1，A 2，……，A n (n ＞4)的所有内角都是15°的整数倍，且∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＝285°，其余的内角都相等，那么，n ＝ .

*17.1.7 若n 边形恰有4n 条对角线，则n ＝ .

**17.1.8 已知有一张桌子，桌面为多边形，每边长都大于100 cm.开始时，有两只蚂蚁在

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2 桌面的同一条边上，距离为10 cm.它们沿着桌面边缘爬行(可进可退，速度不必一样)，它们之间的直线距离永远是10 cm.

（1）假设多边形是凸的，是否桌面边缘上的每一个点，两只蚂蚁都能经过？

（2）假设多边形不是凸的，是否桌面边缘上的每一个点，至少有一只蚂蚁能经过？

17.2 平行四边形

*17.2.1 如图所示，在□ABCD 中，3AB ＝2AD ，E 1、E 2、E 3、E 4、E 5依次是上的五个点，并且CE 1＝E 1E 2＝E 2E 3＝E 3E 4＝E 4E 5＝E 5B ，AE 2与DE 4交于E 点.在三个结论（1）DE 3⊥AE 3；（2）AE 2⊥DE 4；（3）AE 2⊥DE 2之中，正确的个数是（ ）

（A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）3

54321B

**17.2.2 下面命题中，正确命题的个数是（ ）

（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；

（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

（4）一组对角相等有这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4

**17.2.3 已知凸四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＋BC ＝CD ＋AD ，则AD 与BC 的大小关系是（ ）

(A) AD ＞BC (B) AD ＜BC (C) AD ＝BC （D ）以上三种情况都可能

**17.2.4 在正△ABC 中，P 为边AB 上的一点，Q 为边AC 上的一点，且AP ＝CQ ，今量得A 点与线段PQ 的中点M 之间的距离是19 cm ，则P 点到C 点的距离等于 cm.

**17.2.5 如图所示，在□ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，MN 分别是AD 、BC 的中点.求证：四边

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3 形MENF 是平行四边形.

N M

B D

★★17.2.6 若PQRS 的各顶点在另一个ABCD 的各边上，试证：这两个平行四边形的对角线上过同一点.

★★17.2.7 如图所示，△ABC 、△A’B’C’各边交成六边形DEFGHK ，EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，KH －EF ＝FG －KD ＝DE －GH ＞0，求证：△ABC 、△A’B’C’均为正三角形.

B A'

★★17.2.8 已知线段AB 、CD 相交于O

，且AB ＝2，CD =1，∠AOC =60°.试证：AC +BD ．

17.3 矩形、菱形、正方形

★★1 7.3.1 如图所示，设P 是等腰直角三角形ABC 的斜边AC 上任意一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，PG ⊥EF 于G ，在GP 的延长线上取一点D ，使PD =PB ，则BC 与DC

的关系是( )．

(A)相等但不垂直 (B)不相等但垂直

(C)相等且垂直 (D)不相等且不垂直

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4 G D

F C

B A P

★★1 7.3.2 如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4a ，E 在BC 上，EC =2a ，∠BAD =120°，P 点在BD 上，则PE +PC 的最小值是( )．

(A) 6a (B) 5a (C) 4a (D) 23a

D

B C A

P

E

★★1 7.3.3 如图所示，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值为（ ）

(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D)15

E C

A F

★★1 7.3.4 如图所示，矩形AEFG 与矩形APQK 的周长都等于120cm ．则△ABC 的周长为___________cm.

D P K G E

A

B

C

★★17.3.5 如图所示，在长方形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是DC 边的中点，AN 与MC 交

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5 于点P ，若∠MCB =∠NBC +33°，则∠MPA 的度数是___________．

P B

M

D C A

★★★1 7.3.6 已知Rt △ABC ，∠C =90°，AC =3，BC =5，以AB 为边向外作正方形ABEF ，则此正方形中心O 与点C 的连线长等于___________．

★★17.3.7 如图所示，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是___________．

60°K

C'D'B C

D A

B'

★★17.3.8 一边长为25cm 的正方形纸片ABCD ，AD 上有一点P ，且AP ＝66cm ，折这纸片使点B 落在点P 上，则折痕EF 的长是__________ cm.

★★17.3.9 如图所示，已知在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，Q 是AD 上一点，P 是DB 上一点，QE ⊥AC 于E ，QF ⊥CB 于F ，PH ⊥AC 于H ，PG ⊥CB 于G ，求证：∠EDH ＝∠FDG .

E

D A

C Q P

★★17.3.10 如图所示，延长菱形ABCD 一边DC 至E ，使CE ＝DC ，F 、G 在BC 上，且BF ＝CG ，

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6 又∠FAB ＝14

∠DAB ，AF 交对角线BD 于H ，求证：∠FHC ＝2∠CEG . H F

E C A B D

G

★★17.3.11 已知正方形ABCD 中，P 是BD 上一点，PE ⊥DC 于E ，PF ⊥BC 于

F ．求证：AP ⊥EF .

★★17.3.12 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 和AN 是∠DAB 内的任意两条

射线，BK ⊥AK ，BL ⊥AN , DM ⊥AK , DN ⊥AN ，试证：KL ＝MN ．

M

L C

D A B K

N

★★17.3.13 以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向形外作正方形ABEF 和ACGH ，

过A 点作直线分别交BC 、FH 于D 、M ．

试证：(1)若AD ⊥BC ，则AD 平分FH ;

(2)若AD 平分BC ，则AD ⊥FH .

★★17.3.14 如图所示，在正方形ABCD 内任取一点E ，连结AE 、 BE ，在△ABE 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和BFGE ，连结NC 、AF ，求证：NC //AF .

M

G C

D

A E

B

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 7 ★★17.3.15 如图所示，以菱形ABCD 的各边向形外作正三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，连接AF 、CE 、AG 、CH ，AF 与CE 相交于M ，AG 与CH 相交于N ，求证：AMCN 也是菱形. N M

H G

F E

A

B D C

★17.3.16如图所示，若在

ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形

中心为顶点组成一个正方形．

Q P S

R E

N

C A

B D

★★17.3.17 设G 是正方形ABCD 的边DC 上一点，连结AG 并延长，交BC 延长线于K ，求证：12

(AG +AK )＞AC ．

★17.3.18下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )．

(A)正五边形 (B)矩形 (C)正六边形 (D)平行四边形

★17.3.19作两条直线将正方形分成四个全等的图形有( )种作法．

(A)1 (B)2 (C)大于2的有限 (D)无穷

★★17.3-20 设菱形ABCD 的中心为O , E 、F 是菱形内关于O 对称的两个点，

连结CE 、DF ，则线段AB 、CE 、DF 的关系适合( )．

(A)两条较短线段之和大于最长线段

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8 (B)两条较短线段之和等于最长线段

(C)两条较短线段之和小于最长线段

(D)不能确定

★17.3-21 如图所示，一个矩形内有任意一圆，请用一条直线同时将圆和矩

形的周长二等分，并说明作图的道理和方法（要求保留作图痕迹）．

★★1 7.3.22 如图所示，AC和BD都关于O成中心对称，AD、EF都关于MN成轴对称.

E O

D

B C

A

N

M

F

求证：（1）ABCD是矩形．

（2）△ABE和△DCF既关于MN成轴对称，又关于O成中心对称．

（3）△ABE和△DCF是全等的等腰三角形．

***17.3.23 在正方形ABCD中，点M、N分别为BC边及AD边的中点，在对角线AC靠近点A

的延长线上取一点K（点K在正方形外部），连接KM交AD边于点L．求证：∠KNA＝∠LNA．

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9 ***17．3．24 点O为正方形ABCD内部的一点，试证：∠OAB、∠OBC、∠OCD、∠ODA、四个角

之和与180°之差不大于45°．

***17．3．25纸上画着每格边长为1的方格图，万良沿格线剪下了一个矩形，也知道它的面积和周长，而卡利亚接过剪刀说：“瞧我的！”接着他在矩形边上沿格线剪下一个正方形后说：“这个新图形的周长与原矩形的面积在数值上是相等的，而新图形的面积又与原矩形的周长在数值上也是相等的”万良检查后的确如此，请问：

（1）剪下的正方形有多大？

（2）万良剪下的矩形可能有几种尺寸？

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10

17.4 梯形

**17．4．1 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，∠B ≠∠D ，则各内角平分线所围成的四边形是（ ）

A ．只有两个角相等的四边形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．等腰梯形

A

B

C D

E

F

G H

*17．4．2 如果等腰梯形的一个内角为60°，两底边之和为30cm ，且对角线平分60°的底角，那么此等腰梯形的周长是________cm ．

**17．4．3 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝10cm ，AC 与BD 相交于点G ，且 ∠AGD ＝60°，设E 是CD 的中点，F 是AB 的中点，则EF 的长为________．

A

B

C E

F

G

D

**17．4．4 用长为1、4、4、5的线段为边作成梯形，其中面积最小的那个梯形的两条对角线长度之和等于______cm ．

**17．4．5 P 是四边形ABCD 内一点，PA ＝PB ＝PC ＝PD ，又AB ＝CD ，试确定ABCD 的形状，并加以证明．

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11

**17．4．6 如图所示，ABCD 为梯形，E 是上底AD 的中点，F 为下底BC 的中点，∠B 与∠C 互为余角求证：EF ＝

1

2

（BC －AD ）． A

B

C

D E

F

**17．4．7 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AD ＝BC ，∠EAB ＞∠EBA ．求证：CE ＞DE ．

A

B

C

D

E

17．5 中位线

*17．5．1 如图所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点过D 点作DE ∥BC 交AC 于E 点，又在△ADE 中，F 是AD 的中点，过F 作FG ∥DE 交AE 于G 点，若GE ＝6厘米，则GC 等于（ ）

A ．12cm

B ．15cm

C ．18cm

D ．21cm

G F E

D

C

B A

*17．5．2 如图所示，E 为□ABCD 对角线的交点，过点A 、B 、C 、D 、E 分别向直线XY 引垂线，垂足分别为A′、B′、C′、D′、E′．求证：A′B′＝C′D′．

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12 E'D'C'B'A'Y X E

D

C

B

A

*17．5．3 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥DC 交BC 于F ，FG ∥ED 交CD 于G 点．求证：G 为CD 中点．

G

F D E C

B A

*17．5．4 在锐角三角形ABC 中，BE 是高，CF 是中线，若∠ACE ＝30°，则BE 、CF 的大小关系是（ ）

A ．BE ＞CF

B ．BE ＝CF

C ．BE ＜CF

D ．B

E 与C

F 的大小关系无法确定

*17．5．5 如图所示，已知凸五边形ABCDE ，∠ABC ＝∠AED ＝90°，∠DAC ＝30°，∠BAE ＝70°，F 是边CD 的中点，且FE ＝FB ，则∠BAC 等于（ ）

A ．10° B．20° C．30° D．15°

A

B

D E

F

*17．5．6 如图所示，A 、B 为定点，O 为一动点，在异于O 点的一侧取两点A′、B′，使∠OAA′＝∠OBB′＝90°，且AA′＝OA ，BB′＝OB ，设A′B′的中点为O ′，当O 在AB 的一侧移动时，O′的位置将怎样变化？（ ）

A ．O′沿着一条直线移动

B ．O′沿着某一圆周移动

C ．O′固定不动

D ．上述结论都不对

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*17．5．7 如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ BE

＝________． Q P

G

A

B D E

F

*17．5．8 在梯形ABCD 中，AB ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝4，CD ＝3，BC ＝7 ，O 为AD 边的中点，则O 到BC 的距离为_______．

*17．5．9 在△ABC 中，∠BAC ＝120°，以AB 、AC 为边分别在形外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，M 为AD 中点，O 为AE 中点，P 为BC 中点，则∠MPN 的度数是_____．

*17．5．10 P 为三角形ABC 内一点，∠PAC ＝∠PBC ，由P 作BC 、AC 垂线，垂足分别是L 、M ，设D 为AB 中点（如图）．求证：DM ＝DL ．

P

L M

D C

B

A

***17．5．11 已经△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD ＝∠ABC ＝90°，如图a 所示，连接DE ，设M 为DE 的中点．

（1）求证：MB ＝MC ；

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14

（2）设∠BAD ＝∠CAE ，固定Rt △ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图b 的位置，试问：

MB ＝MC 是否还能成立？并证明其结论．

图a

A

B C

D

E

M

图b

M

E

D

C

B

A

**17．5．12 如图所示，在Rt △ABC 中，D 、E 分别是直角边BC 、 AC 上的任意点，M 、N 、P 、

Q 分别是DE 、BE 、AB 、AD 的中点．求证：MP ＝NQ ．

Q P

N M E D

C

B

A

**17．5．13 如图所示,已知AH 是△ABC 中∠A 的平分线，在AB 、AC 边上截取BD ＝CE ，M 是

DE 的中点，N 是BC 的中点．求证：MN ∥AH ．

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15

N M H

E D C

B

A

**17．5．14如图所示，设线段AB 的中点为M ，从AB 上另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ．求证：直线PQ 平分线段AC ．

N M Q

P

D

C

B A

***17．5．15 在△ABC 中，DE 和CD 分别是∠B 和∠C 的角平分线，P 是DE 的中点，PQ ⊥BC 于

Q 点，PM ⊥AB 于M 点，PN ⊥AC 于N 点．求证：PQ ＝PM ＋PN ．

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16 **17．5．16 在△ABC 内作角平分线AA 1和C 1，M 点和K 点分别是从B 点向AA 1、CC 1所作垂线的垂足．

证明：MK ∥AC ．

**17．5．17 线段AB 与CD ，既不平行也不相交，P 点在AD 上，而Q 点在CD 上线段AQ 、BQ ，CP 及DP 的中点分别为K 、L 、M 、N ．试证明：线段KL 、MN 和PQ 相交于一点.

17.5.18 在四边形ABCD 中，K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.直线AL 与CK 相交于点P ，直线AM 与CN 相交于点Q .现知APCQ 为平行四边形.证明：ABCD 也是平行四边形.

17.6 平移、旋转与对称

17.6.1 如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，M 为AB 上一点，使得AM =BC ，N 为BC 上一点，使得CN =BM ，连接AN 、CM ，交于P 点.求证：∠APM =45°.

17.6.2 如图所示，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =40°，延长BC 至D ，使CD =AB ，求∠ADB 的度数.

M P

N B A C