第3讲 函数的奇偶性与周期性

【2013年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】 本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶 性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能.重 点解决综合利用函数的性质解决有关问题.

基础梳理 1.奇、偶函数的概念 (1)设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有 -x∈D,且 f(-x)=-f(x) ,则这个函数叫做奇函数.

(2)设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都 有-x∈D,且f(-x)=f(x)

,则这个函数叫做偶函数. 对

(3)奇函数的图象关于 原点 对称；偶函数的图象关于 y轴 称.

2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1)考查定义域是否关于原点对称. (2)考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x); 若f(-x)= -f(x) ,则f(x)为奇函数； 若f(-x)= f(x) ,则f(x)为偶函数；

若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函 数.即非奇非偶函数.

3.周期性 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使 得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x) .那么就称 函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个

最小的正数

,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件. 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0. (2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定 义域上： 奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶 =奇.

三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象 法；(3)性质法.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列函数中，其中是偶函数的是 ( 1 A.f(x)=x+x 1 C.f(x)=x2 解析 B.f(x)=x3-2x D.f(x)=x4+x3 ).

由奇、偶函数的定义知，A,B 为奇函数，

C 为偶函数，D 为非奇非偶函数. 答案 C

2.(2011· 上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ ∞)上单调递减的函数为( A.y=x-2

). C.y=x2

B.y=x

-1

1 D.y=x3

解析 函数为偶函数，则 f(-x)=f(x),故排除掉 B,D. C 选项中 y=x 为偶函数，但在(0,+∞)上单调递增， 不满足题意.故选 A. 答案 A2

3.“函数 f(x)为奇函数”是“f(0)=

0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D

).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2011· 南昌调研)若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数， 则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 C.非奇非偶函数 解析 由已知，得 b=0, ). B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

∴g(x)=ax3+cx. ∴g(-x)=-(ax3+cx)=-g(x). ∴g(x)为奇函数. 答案 A

5.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数， 那么 a+b=________. 解析 a-1=-2a, 依题意，得 b=0,

2

1 ∴a=3,b=0, 1 ∴a+b=3.

考向一

函数奇偶性的判断

【例 1】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= x2-1+ 1-x2; (2)f(x)=(x-1) 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3 [审题视点] 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再 由奇、偶函数的定义判断. 1+x ; 1-x

解

x2-1≥0, (1)由 1-x2≥0,

得 x=±1,

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=±f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

1+x ≥0, (2)由 1-x 得-1≤x<1. 1-x≠0, ∵f(x)的定义域[-1,1)不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

4-x2≥0, (3)由 |x+3|-3≠0,

得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x 4-x 4-x ∴f(x)= = = x , |x+3|-3 x+3 -3 ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数.2 2 2