高中数学人教版必修2课件

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专题一

线面平行与垂直的证明

例 1:如图 1,在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方

形，侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 于点 F. (1)证明：PA ∥平面 EDB; (2)证明：PB⊥平面 EFD. 图1

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证明：(1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO.

∵底面 ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中，EO 是中位线，∴PA ∥EO. 而 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB, ∴PA ∥平面 EDB. (2)∵PD⊥底面 ABCD,DC 底面 ABCD, ∴PD⊥DC.∵PD=DC,

∴△PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线，∴DE⊥PC. 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC.

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又∵DC⊥BC,PC∩DE=E,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE 平面 PDC,∴BC⊥DE. ∵DE⊥PC,BC∩PC=C,∴DE⊥平面 PBC.

而 PB 平面 PBC,∴DE⊥PB.又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,∴PB⊥平面 EFD.

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1-1.如图 2,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直.CE⊥AC,EF∥AC,AB= =1. ,CE=EF 2

(1)求证：AF∥平面 BDE;(2)求证：CF⊥平面 BDE. 图2

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证明：(1)设AC 与BD 交于点 G,如图28.

1 ∵EF∥AG,且 EF=1,AG=2AC=1.∴四边形 AGEF 为平行四边形， ∴AF∥EG. ∵EG 平面 BDE,AF 平面 BDE, 图 28

∴AF∥平面 BDE.(2)连接 FG,如图28.

∵EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,∴平行四边形 CEFG 为菱形，∴CF⊥EG.

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∵四边形 ABCD 为正方形， ∴BD⊥AC.

又∵平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, ∴BD⊥平面 ACEF.∴CF⊥BD. 又 BD∩EG=G,∴CF⊥平面 BDE.

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1-2.如图 3,在多面体 ABCDEF 中，四边形

ABCD 是正方形，AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点， (1)求证：FH∥平面 EDB;

(2)求证：AC⊥平面 EDB;(3)求四面体 B—DEF 的体积.

图3

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(1)证明：如图29,设AC 与BD 交于点G,则G 为AC 的

1 中点，连 EG、GH,由于 H 为 BC 的中点，故 GH 綊2AB, 1 又 EF 綊2AB,∴四边形 EFGH 为平行四边形.∴EG∥FH,而 EG 平面 EDB,

∴FH∥平面 EDB.图 29

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(2)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB⊥BC.

又 EF∥AB,∴EF⊥BC.又 EF⊥FB, ∴EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH.∴AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点， ∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG,∴AC⊥EG, 又 AC⊥BD,EG∩BD=G,

∴AC⊥平面 EDB.

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1-3.(辽宁) 如图 4,棱柱ABC - A1B1C1 的 侧面 BCC1B1 是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面 AB1C⊥平面 A1BC1;

(2)设 D 是 A

1C1 上的点，且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

图4

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(3)解：∵EF⊥FB,∠BFC=90°, ∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B-DEF 的高，又 BC=AB=2,

∴BF=FC= 2, 1 1 1 ∴VB-DEF=3×2×1× 2× 2=3.

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解：(1)如图 30.

因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 B1C⊥BC1.又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1, 又 B1C 平面 AB1C ,

所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 . (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线，

图 30

因为 A1B∥平面 B1CD,所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点.即 A1D∶DC1=1.

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专题二

空间角

例 2:(全国)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若∠BAC =90°,AB=AC=AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

思维突破：延长 CA 到 D,使得 AD=AC,

则 ADA1C1 为平行四边形，∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角， 又三角形 A1DB 为等边三角形，∴∠DA1B=60°. 答案：C

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2-1.(2010 年全国)已知三棱锥 S-ABC 中，底面 ABC 为边 长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直 线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( )

3 A. 4

5 B. 4

7 C. 4

3 D.4

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解析：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及 直线与平面所成角. 如图 31,过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连接 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F,连 BF, ∵正三角形 ABC,∴ E 为 BC 中点， ∵ BC⊥AE,SA⊥BC,∴ BC⊥面 SAE, ∴BC⊥AF,AF⊥SE,∴AF⊥面 SBC, ∵∠ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角， 由正三角形边长为 3,得 AE= 3,AS=3, ∴SE=2 3 3 3,AF=2,∴sin∠ABF=4. 图 31