2.6

实

数

同学们，我们先来猜想一下在古代 古人 是如何计数的呢？

我国古代计数的发展历程：根据我国古书《易经》的记载，上古时期 的中国人也是“结绳而治”,就是用在绳上打 结的办法来记事表数。后来又改为“书契”, 即用刀在竹片或木头上刻痕记数.用一划代表 “一”。直到今天，我们中国人还常用“正” 字来记数.每一划代表“一”。当然，这个 “正”字还包含着“逢五进一”的意思。

在现实生活中，古代计数远远不能满足我们生 产生活的需要，那么有哪些地方让我们感觉数不够 用了呢？

利润：“盈利50.7万”与“亏损 23万” 温度：“零上26.50C”与“零下2.50C” 海拔：“海平面上8848米”与“海平面下 2300.43米” ......所以，古代计数范围不够用了，产生了初一学过的 等等有理数这一数的范围。 有理数包括整数和分数，有理数总可以用有限小数 或无限循环小数表示。 这是我们初一学过的知识，那么请思考有理数够用吗。

例：如图，下面是一个边长为10m的正方形花园，现园 丁想要扩建一个新花园，新花园的边长与原来这个正 方形花园对角线长度一样，请问新花园的边长是多少 米？ 解：设新花园的边长为L米，由题意可知 L=原来花园的对角线 因为原来的正方形花园边长为10米，由勾 股定理可得： L2=102+102=200(米) L=?米 L= 200 米= 10 2 米10m

我们发现，有理数并不是万能的！!!

无理数的产生上面的例题中，我们把开方开不尽的数叫做无 理数。 那么除了开方开不尽的数，还有具有特定意义 的数(如圆周率等),具有特殊结构的数(如 0.1010010001....)等，这些数，我们都称为无理数。以上的数都有共同的特征：①无限不循环小数；②不能 化成分数的数。

无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数。

知识小结与分类：1.什么是有理数？有理数怎样分类？整数 有理数

正有理数 有理数0 负有理数

分数

2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数.

把下列各数分别填入相应的集合内： 1 5 20 3 , 7 , , , 2, 3 , 5, 3 8, 2, 4 2

4 , 9

0,

0.3737737773 3 8,3

(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)

5 1 , , 4 2 4 , 0, 9

2,

7, ,

2,

5, 0.3737737773

20 , 3

有理数集合

无理数集合

5 1 , , 4 2 4 , 0, 9

8,3

3

2,

7, ,

2,

实数

5, 0.3737737773

20 , 3

有理数集合

无理数集合

有理数

有理数和无理数统称为实数 无理数 即，实数可以分为有理数和无理数

议一议请问：3 是正数还是负

数？ 呢？

无理数和有理数一样，也有正负之分。

议一议1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗? 1 5 20 , 7 , , , 2, 3 , 5, 3 8, 2, 4 2

3

4 , 9

0,3

0.3737737773

(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)

1 2, 4 , 7 , , 2, 20 4 , 0.3737737773 , 3 9

5 , 5, 3 8, 2

正数集合

负数集合

议一议2. 0属于正数吗?属于负数吗? 3. 实数还可以怎样分类?实数的 第一种分类 有理数 实数 无理数 实数

实数的 第二种分类正实数

0负实数

实数的相关概念在实数范围内 ，相反数、倒数、绝 对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、 倒数、绝对值的意义完全一样。例如：2 与 2 互为相反数3

15 与3

5 互为倒数

| 3 |

3

, | 0 |

0 , | |

实数和有理数一样，可以进行加、减、 乘、除、乘方、开方运算，而且有理数的运 算法则与运算律对实数仍然适用。 例如：

2 5 5 2

(乘法交换律)

1 1 3 5 3 ( 5 ) 3 (乘法结合律) 5 5 (乘法分配律) 4 3 2 7 3 2 (4 7) 3 2 113 2

想一想1. 2.

3

的绝对值是

3 a

a是一个实数,它的相反数是(a 0) a | a | 0 (a 0) a (a 0)

绝对值是

3.

当a≠0时，它的倒数是

1 a