东南大学《工程矩阵理论》06(下)工程矩阵理论统考试卷(A)

工程矩阵理论试卷（A）

2006年10月

系别成绩

2 2一． （20%）记C为复数域C上的2 2矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵A 11 2 2 ，V X C|AX XA 。 00

1．证明V是C2 2的子空间，并求V的基和维数；

a0 | a,b C2．假设C2 2的子空间W ，求W的基和维数； a bb

3．求V W,V W的基和维数。

0 0 A 二． （12%）假设矩阵 0 000 500 ，试求A的广义逆矩阵A 。 03 1 0 31 0

101 三． （16%）设矩阵A 10 1 。

000

1. 分别求A的特征多项式及Jordan标准型；

2. 写出A的最小多项式；

3. 将e表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求e。

四． （20%）记C2 2AtAt为复数域C上的2 2矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的

2 2线性空间，对固定的矩阵A,B C，定义C2 2上的变换如下：对任意X C2 2，

f(X) AXB。

1. 证明：对给定的矩阵A,B C

2. 设A 2 2，f是C2 2上的线性变换； 10 11 2 2E,E,E,EC。分别求在下的像，并求在ff,B 11122122 10 00

的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M；

3. 假设A 10 11 ,B ，求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组

10 00

基及它们的维数；

4. 问：C2 2 R(f) K(f)是否成立？为什么？

210 32y 五． (12%)设矩阵A 0x0 ，B 020 。

403 003

1. 根据x的不同的值，讨论矩阵A的所有可能的Jordan标准形；

2. 若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明理由。

3六． (10%)假设R的由 1, 2生成的子空间V L( 1, 2)，其中

1 (0,1,0), 2 (1,0,2)。设 (1,0,1)。在V中求向量 0，使得

0 min 。 V

七． (10%)证明题

1. 证明：Hermite阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不

是Hermite矩阵，也不是酉矩阵。

2. 若n维列向量 C的长度小于2，证明：4I 是正定矩阵。 nH