第五版线性代数课后习题答案,希望大家在下载的时候看准了版次,版次是2011年6月第19次印刷,里面包含线性代数前五章的课后答案,第六章一般的专业都不学,被星号掉了,一点要看准版次,而且要多对照一下课后的题目是否一样,或是是否大部分一样,再继续下载,希望能帮助你

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201

(1)1 4

183201

解 1 4

183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4 abc

(2)bca

cababc

解 bca

cab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111

(3)abc

a2b2c2111

解 abc

a2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

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xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

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(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是

( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式

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41 (1)0125120214

2 07

41 解 1252024c2 c342 10 1

23202 104 1 10

2 122 ( 1)4 3 140117c4 7c30010

3 14 4 110c2 c39910

123 142 c00 2 0

1 2c31714

2 (2)31 114152203162 22

40 解 31 1211 c 4 c3 223 11402r4 r2252106

2215

220360

3

1 142221213240 0

r 4 r12

31 1142022030 0 00

(3) bdabacae

bf cfcd deef

解 bdabbf accfcdae

deef

adf bbb ccce ee

1111

1 11 1 4abcdef

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a1 (4) 001b 1001c 100 1d

a1 解 001b 1001c 10r1 ar201 ab0 1b10 1d00a

1c 100 1d

aba0c3 dc2 abaad

( 1)( 1)2 1 1c1 1c1 cd

0 1d0 10

6 证明:

abad abcd ab cd ad 1 ( 1)( 1)3 2 11 cd

a2abb2

(1)2aa b2b (a b)3;

111 证明

a2abb2c2 c1a2ab a2b2 a2

2aa b2b 2ab a2b 2a

00111c3 c11

222

ab ab aab a (a b)3 (b a)(b a)1 ( 1)2b a2b 2a

3 1

ax byay bzaz bxxyz

(2)ay bzaz bxax by (a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy 证明

ax byay bzaz bx

ay bzaz bxax by

az bxax byay bz

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xay bzaz bxyay bzaz bx

ayaz bxax by bzaz bxax by

zax byay bzxax byay bzxay bzzyzaz bx

a2yaz bxx b2zxax by

zax byyxyay bzxyzyzx

a3yzx b3zxy

zxyxyzxyzxyz

a3yzx b3yzx

zxyzxyxyz

(a3 b3)yzx

zxy

a22b (3)2cd2 证明

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2(b 3)2

0; (c 3)2(d 3)2

a22b 2cd2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2

(b 3)2(c c c c c c得) (c 3)2433221(d 3)2

a22b c2d22a 12b 12c 12d 12a 32b 32c 32d 32a 5

2b 5(c c c c得) 2c 543322d 5

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a22b c2d2 1a (4)a2a4

1bb2b4

2a 12b 12c 12d 11cc2c4

1d d2d4

22222

2 0 22

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明 1a a2a4

1bb2b4

1cc2c4

1d d2d4

1110b ac ad a

0b(b a)c(c a)d(d a)

0b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)

111

cd (b a)(c a)(d a)b

222

(b a)c(c a)d(d a)

11

c bd b (b a)(c a)(d a)0

0c(c b)(c b a)d(d b)(d b a)

1 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(c 1b a)d(d b a) =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) x

(5)

0an

1x 0an 10 1 0an 2

0000

xn a1xn 1 an 1x an x 1a2x a1

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证明 用数学归纳法证明

x 1 x2 ax a 命题成立 当n 2时 D2 a122x a1

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 1

Dn xDn 1 an( 1)n 1 x

1

0 1 1

00 x

00 1

xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立

7 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得

an1 anna1n annann a1n

D1 D2 D3

a11 a1na11 an1an1 a11证明D1 D2 ( 1)

n(n 1)

2

D D3 D

证明 因为D det(aij) 所以 a11

an1 ann

D1 ( 1)n 1an1

a11 a1n

a21

a1nann a2n

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a11a21

( 1)n 1( 1)n 2an1

a31

a1na2n

ann a3n

n(n 1)2

( 1)1 2 (n 2) (n 1)D ( 1) 同理可证 D2 ( 1) D3 ( 1)

n(n 1)112

D

a an1n(n 1)n(n 1)

T

( 1)2D ( 1)2D a1n ann

n(n 1)2

n(n 1)2

D2 ( 1)

( 1)

n(n 1)2

D ( 1)n(n 1)D D

8 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

a

(1)Dn 都是0 解

1

1a

, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素

a0

Dn 0

010a0 0000a 0000a 0

000 a0000 a

10

0(按第n行展开) 0a

1

a0

( 1)2n a 0

a(n 1) (n 1)0(n 1) (n 1)

0an 1

( 1)0

0

000 0

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a

n 1n

( 1) ( 1)

a(n 2)(n 2)

an an an 2 an 2(a2 1)

x

(2)Dn a

a

ax a aa; x

a 0 0 0x a

解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 xaaa xx a0

Dn a x0x a

a x00

再将各列都加到第一列上 得

x (n 1)aaa

0x a0

Dn 00x a

000 a

0n 1 0 [x (n 1)a](x a) 0x a

an(a 1)nan 1(a 1)n 1

(3)Dn 1

aa 111 (a n)n

(a n)n 1

;

a n 1

解 根据第6题结果 有 11a 1n(n 1)a

Dn 1 ( 1)

an 1(a 1)n 1an(a 1)n

1 a n

n 1

(a n) (a n)n

此行列式为范德蒙德行列式

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Dn 1 ( 1) ( 1) ( 1)

an

n(n 1)n 1 i j 1

n(n 1)2

[(a i 1) (a j 1)]

n 1 i j 1n(n 1)2

[ (i j)]

n (n 1) 1

2

( 1)

n 1 i j 1

(i j)

n 1 i j 1

(i j)

bn

(4)D2n

cn

a1b1c1d1

; dn

解

an

bn

D2n

cn

a1b1c1d1

(按第1行展开) dn

an 1

an

a1b1c1d1

bn 10

cn 10

dn 100dn

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0an 1

( 1)

2n 1

bn

cn 1cn

a1b1c1d1

bn 1

dn 10

再按最后一行展开得递推公式

D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即D2n (andn bncn)D2n 2 于是 D2n (aidi bici)D2

i 2n

而 D2

a1b1

a1d1 b1c1 c1d1

ni 1

所以 D2n (aidi bici) (5) D det(aij) 其中aij |i j|; 解 aij |i j| 01

Dn det(aij) 23

n 1 1r1 r2 1

1 1r2 r3

n 1

123012101210 n 2n 3n 411 11 11 1 1 n 3n 4

111 1 0

n 1n 2n 3 n 4 0

1 1 1 1 n 2

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1c2 c1 1

1 1c3 c1

n 1000 200 2 20 2 2 2 2n 32n 42n 5 000 0 n ( 1)n 1(n 1)2n 2

a11

(6)Dn 11 a2

11 解

a11

Dn 11 a2

11

1

1, 其中aa a 0

12n

1 an

1 1 1 an

a1

c1 c2 a2

0

c2 c3

0

00a2 a3 0000a3 00 0 0 0 an 1 0

010101 an 11 an1 an

1 1

a1a2 an0

0001 1 00001 00 000 10

0a1 1

1

0a2

1

0a3

1

1an 1

1

11 an

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100

a1a2 an

0010 0001 0 000 0000 1

a1 1 1a2 1a3 1an 1

ni 1

000 001 ai 1

(a1a2 an)(1 1)

i 1ai

10 用克莱姆法则解下列方程组 x1 x2 x3 x4 5 x 2x2 x3 4x4 2

(1) 1

2x1 3x2 x3 5x4 2 3x x 2x 11x 0 1234

n

解 因为 1

D 12

3

12 31

1 1 12

1

4 142 511

52 D1 20 D3 2

3所以 x1

12 311 1 1214 142 D 2 52

1135

2 201 1 121

4 284 511

12 315 2 20114 426 D 1

42 5

1131

2 311 1 125

2 142 20

DDDD

1 x2 2 x3 3 x4 1

DDDD

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1 5x1 6x2

0 x1 5x2 6x3

(2) x2 5x3 6x4 0

x3 5x4 6x5 0

x4 5x5 1

解 因为 51

D 0

00

651000651000651

00

0 665 65

D1 0

051

D3 0

00

6510065100

0651010001

0065100651

05010 1507 D2 0605005010 703 D4 06050

1

000165100

0651006510

0065110001

00

0 1145 6500

0 395 65

5 D5 0

0065100065100065110

0 212 01

所以

x1 1507 x2 1145 x3 703 x4 395 x4 212

665665665665665

x1 x2 x3 0

11 问 取何值时 齐次线性方程组 x1 x2 x3 0有非

x1 2 x2 x3 0

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零解？

解 系数行列式为

1 D 1

12 令D 0 得 0或 1

于是 当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解

(1 )x1 2x2 4x3 0

12 问 取何值时 齐次线性方程组 2x1 (3 )x2 x3 0

x1 x2 (1 )x3 0有非零解？

解 系数行列式为

24 3 4

D 23 1 21 1

111 101

(1 )3 ( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 ) (1 )3 2(1 )2 3 令D 0 得

0 2或 3

于是 当 0 2或 3时 该齐次线性方程组有非零解

第二章 矩阵及其运算

1 计算下列乘积