2021年北京大学自主招生数学试题(3)

5 5

6. 令 f (x ) = sin x ， g (x ) =

x

的图像可知，只有 7 个根，∴选 B. 13

7. 设内切圆半径为 r ，△ PF F 的面积为 S ，∠F PF = α，∵ r =

2S ，解得： S = 8 ， 1 2 1 2 2a + 2c 又 S = b 2 tan α，解得： tan α = 1 ，则sin α = ，∴ IP =

r = .

2

2 2 2 5 sin α 2 8. ∵ a k +1 + a k = 4k + 3，则 a n +2 - a n = 4，

情形一：当 n 为偶数时，则 a n = a 2 + 4( n - 1) = 2n + a 2

2 n + 1

- 4 ，

情形二：当 n 为奇数时，则 a n = a 1 + 4( 2

- 1) = 2n + a 1 - 2 ， ∴ a 2 + a 2020 = 4036 + 2a 2 ，∵ a 2 不确定，∴ a 2 + a 2020 也不确定.