2021年北京大学自主招生数学试题(2)

时间:2025-05-03

x 2 - 2ax + a 2 x 2 - 2bx + b 2 (x - 2 a )2 + (0 - 2 a )2 2 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 2ab ⎨ A

9

参考答案

1. P = + = + 上式的几何意义为:平面直角坐标系 xOy 中, x 轴上一动点到两个动点 A ( 2 a , 2 a ) 、

2 2

B ( 2 b , 2 b ) 的距离之和,设 B 关于 x 轴的对称点为 B ' ,则 P ≥ , 2 2

而 P ≤ ,∴此时 x 为直线 B 'A 与 x 轴交点的横坐标,

则l : y =

b + a (x - 2 b ) + 2 b ,令 y = 0 ,解得: x = . B 'A b - a 2 2 a + b

2. 设 z = x + y i , z = x + y i ,由题意可知: x 2 + ( y - 3)2 = 4 , (x - 8)2 + y 2 = 1 , 1 1 1 ⎧x 1 = 2cos α 2 2 2 1 1 2 2

⎧x 2 = cos β+ 8 ⎧x = x 1 - x 2 令 ⎨ y , = 2sin α+ 3 y = sin β , ⎨ y = y - y , ⎩ 1 ⎩ 2 ⎩ 1 2

则(x + 8)2 + ( y - 3)2 = 5 - 4cos(α- β) ,

∴复数 z 1 - z 2 围成得面积为一个圆环的面积 S = (9 -1)π= 8π,∴选 B.

A 4 + 2A 2 A 2 + A 4 + 4C 1C 1C 1C 1 11

3. P = 4 4 5 5 5 4 4 3 = . 4 21

4. 设正方形边长为 1, 在△ BKD 中,由正弦定理可知:

DK = sin 35︒

2 sin135︒

,则 DK = 2sin 35︒, 在△ ADK 中,由余弦定理可知: AK 2 = 1+ 4sin 2 35︒ - 4sin 35︒cos 55︒ = 1 ,

则△ DAK 为等腰三角形,∴ ∠KAD = 70︒ ,∴选 C.

5. 令 A = x 2 + x + 1, B = y 2 + y + 1,

情形一:当 x 为奇数时,则 A 为奇数,

情形二:当 x 为偶数时,则 A 也为奇数,

同理可得: B 也为奇数,而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数,

综上:选 A. (x - 2 b )2 + (0 - 2 b )2 2

2

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