2021年北京大学自主招生数学试题

x 2 - 2bx + b 2 a 2 + b 2 + = 2

北京大学 2019 年自主招生数学试题

1. 若 a ,b ∈ R + 范围.

+ ≤ 的 x 的取值

2. 复数 z 1 、 z 2 满足| z 1 - 3i |= 2 ， | z 2 - 8 |= 1 ，则由复数 z 1 - z 2 围成的面积是（

） A. 4π B. 8π C. 10π D. 以上全错

3. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中取出 4 个不同的数，分别记为 a ，b ， c ， d ，求 a + b 和c + d 奇偶性相同的概率.

4. 正方形 ABCD ，K 为△ BCD 内一点，满足 ∠KDB = ∠KBC = 10︒ ，则∠KAD =（

） A. 45° B. 60° C. 70° D. 以上全错

5. 设 x , y ∈ Z ，若(x 2 + x +1)2 + ( y 2 + y +1)2 为完全平方数，则数对(x , y ) 有（

）组 A. 0

B. 1

C. 无穷多

D. 以上全错

6. 方程sin x = x 13

根的个数为（ ） A. 3 个 B. 7 个

C. 1 个

D. 以上全错

2

7. 设 P 为椭圆 x y 1上一点， F 、 F 为椭圆的左右焦点， O 为△ PF F 的内心，若 1 2 1 2 25 16

内切圆半径为 1，求OP 的长度.

8. 已知数列{a n } 满足： a k +1 + a k = 4k + 3（ k = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅），求 a 2 + a 2020 . x 2 - 2ax + a 2