目录

第1章 引言

第2章 LINDO软件的基本使用方法

2.1 LINDO入门

2.1.1 LINDO软件简介

LINDO是英文Linear Interactive and Discrete Optimizer字母的缩写形式，即”交互式的线性和离散优化求解器”。LINDO软件和第3章即将介绍的LINGO软件包是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件（如图2-1所示）。LINDO用于求解线性规划问题，其功能比较强，计算效果比较好。此外，LINDO软件使用起来非常方便，很容易学会。即使对优化方面的专业知识了解不多的人，也能够方便地建模和输入，有效地求解和分析实际中遇到的大规模化的问题，并通常能够快速得到复杂优化问题的高质量的解。

图2-1 美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件

第一次运行刚安装的LINDO软件时，系统会弹出一个对话框，要求你输入Password（密码）。如果是正版软件，则在密码框中输入LINDO公司提供的密码，然后按“OK”按钮即可。否则，只能选择演示版（Demo Version），按下”Demo Version”按钮即可。

2.1.2 编写一个简单的LINDO程序

在Windows操作系统下安装好LINDO软件后，双击桌面上LINDO图标 (或在Windows”开始”菜单的“程序”中选择运行LINDO软件（如图2-2所示），可以启动LINDO软件，屏幕上首先显示（如图2-3所示）所示的LINDO的初始界面。从界面上可以看到LINDO的最大的Constraints（约束）个数为50，最大的Variables（变量）个数为100，最大的Nonzeros个数为16000。

图2-2 启动LINDO程序

图2-3 启动LINDO的初始界面

下面通过一个非常简单的例子，说明如何编写、运行一个LINDO程序的完整过程。点击图2-3中的“OK”,出现如图2-4所示的工作界面。

图2-4 启动LINDO的工作界面

这就是LINDO的初始用户界面。目前光标所在子窗口称为模型窗口，是用来供用户输入LINDO程序的。目前这个模型窗口标有“<untitled>”字样，表示用户还没有为这个程序命名，因此，LINDO采用了自动生成的名字“<untitled>”，将来用户在保存程序时可以对它重新命名。

【例2.1】 生产规划的优化问题

maxZ 200x1 500x2

1.5x1 5x2 40 s.t. 2x1 4x2 40 x1 0,x2 0

我们可以直接在<untitled>这个新的、空白的模型窗口中输入这个问题(如图2-4所示)。

图2-4 例2.1的模型输入

我们看到这段程序有以下特点：

1、这个LINDO程序以“max”开始，表示目标是最大化问题(容易想到，对最小化问题自然该用”min”开始)，后面直接写出目标函数的表达式。注意：LINDO不区分大小写字符(实际上任何小写字符将被转换成大写字符)；变量和系数间不用乘号“*”。

2、约束的表达式前用st(说明也可写成s.t.或subject to)。程序以“end”结束。(请注意：“end”在这里也可省略)

3、输入的LINDO模型中用右括号“) ”结尾的“ first)”和“ second)”是行名(对应约束，就是约束名)；我们也可以分别输入“2)”和“3)”等其它行名；请注意：“ first)”和“ second)”也可以省略，省略时LINDO将会按照输入行的顺序自动生成用数字表示的行名（即行号）。如本例中若输入时省略行名时，系统对约束默认的行名分别是“2）”和“3）”，并对目标函数所在的行自动生成行名“1）”。

4、我们输入上面的模型时，故意写的歪七扭八，是为了说明在LINDO中，模型书写起来是相当灵活的，由于LINDO中已假设所有的变量都是非负的，所以非负约束（4）即（x1≥0，x2≥0）不必再输入到计算机中；约束条件中的“ ”及“ ”可分别用“〈”和“〉”代替；输入的多余的空格和回车也会被忽略；一个约束还可以分成两行甚至多行写，等等。

5、模型中的感叹号“！”后面的文字将被认为是说明语句（注释语句），不参与模型的建立，主要是为了增强程序的可读性。注意此处书写时不能换行。

现在我们就可以用LINDO软件来求解这个模型。用鼠标单击LINDO软件工具栏中的图标，或从菜单中选择“Slove(Ctrl+S)”命令（即LINDO的主菜单“Solve”求解中的“Slove(求解)”命令，快捷键是Ctrl+S（以后我们约定都这样表示），见图2-5。则LINDO开始编译这个模型，编译没有错误马上开始求解，求解时会显示如图2-6所示的LINDO求解器运行状态窗口（LINDO SOLVE STATUS），其中显示的相应信息的含义见表2-1。注意，LINDO求解线性规划的过程默认采用单纯形法，一般是首先寻求一个可行解，在有可行解的情况下再寻求最优解。用LINDO求解一个LP问题会得到如下的几种结果：可行或不可行；可行又可分为：有最优解和解无界两种情况。因此，图2-5中当前状态可显示为：Optimal （最优解），Feasible（可行解），Infeasible（不可行解），Unbourded（解无界）四种状态之一。

图2-5 例2.1的模型求解

图2-6 LINDO求解器运行状态窗口（LINDO solver Status）

由于这个例子中LP模型的规模太小，我们可能还没有来得及看清图2-6的界面，LINDO就解出了最优解，并马上弹出如图2-7的对话框。这个对话框询问你是否需要作灵敏性分析“DO RANGE(SENSITIVITY )ANALYSIS？”。我们现在先选择“否（NO）”按钮，这个窗口就关闭。然后，我们再把图2-4状态窗口也关闭（按下图2-6的“Close”按钮即可）。

图2-7 灵敏性分析对话框

现在这个模型就解完了。那么最优解在哪里呢？如果你在屏幕上没有看到求解的结果，那么请你用鼠标选择LINDO的主菜单“Window（窗口）”，就可以查看该窗口的内容（如图2-8所示）。

图2-8 LINDO的求解结果报告窗口

这些输出结果表示的意思如下：

1、“LP OPTINUM FOUND AT STAP 0”表示单纯形法在0次迭代后得到的最优解。

2、“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1）4500.000”表示最优目标值。（注意：在LINDO中目标函数所在行总是被认为是第1行，这里的“1）”就是这个含义。

3、“VALUE”给出最优解中各变量（VARIABLE）的值：x1=10，x2=5。

4、“REDUCE COST”给出了最优的单纯形表目标函数行第1行中变量对应的系数（即各个变量的检验数（也称判别式））。其中基变量的REDUCE COST 值一定为0；对于非基变量（注意非基变量本身取值一定为0），相应的REDUCE COST 值表示该当非基变量增加1个单位（其他非基变量保持不变）时目标函数减少的量（对MAX型问题）。本例最优解中两个变量都是基变量，所以对应的REDUCE COST 的值均为0。

5、“SLACK OR SURPLUS（松弛或剩余）”给出约束对应的松弛变量的值：第2，3行松弛变量均为0，说明对于最优解来讲，两个约束（第2，3行）均取等号，即都是紧约束。

6、“DUAL PRICES ”给出了对偶价格的值：第2，3行对偶价格分别为50.0，62.5(含义参看《运筹学》)。

7、“NO ITERATIONS ＝0”表示用单纯形法进行0次迭代（旋转）。

现在，我们归纳一下上面介绍的输入，求解LP问题的一般步骤如下：（1）在模型窗口中输入一个LP模型。模型以“max”或“min”开始，按线性规划问题的自然形式输入（如前面的例子所示）。如要结束一个模型的输入，只需输入“END”（也可以省略）。（2）求解模型。如果LINDO报告有编译错误，则回到上一步修改模型。（3）查看结果。

2．2LINDO的主要菜单命令

从前面的各个图形窗口中我们已经看到，LINDO软件菜单条上有六个主菜单：File(文件) Edit（编辑）

Solve（求解） Report（报告 ） Windows（窗口） Help（帮助）

File（文件）菜单包括了LINDO通过文件与外部设备交换信息的命令；Edit（编辑）菜单包括了在当前窗口下编辑文本的命令；Solve（求解）菜单包括了求解摸新年感的命令；REPORTS（报告）彩旦包括了生成解答结果报告的命令；Windows（窗口）菜单包括了窗口切换的命令；HELP（帮助）菜单包括了访问在线帮助文档的命令。

对于几乎所有的菜单命令，LINDO都提供了快捷键；对于常用的菜单命令，LINDO在工具栏提供了相应的图形按钮（参见图2-6）。工具栏是浮动式的，可以用鼠标拖到屏幕的任何地方。这些用法都是和WINDOWS下其他应用程序的标准用法类似的，所以我们不准备对所有的菜单命令进行完整和详细的介绍，而是只对前4个菜但中有一定LINDO特色的主要命令进行简单介绍。

2．2．1文件主菜单

File/New、File/open和File/view的区别

File/view 用于新建一个模型文件，File/open用于打开一个已有文件，此后可以对这个文件进行编辑、求解、保存等；而File/View只用于打开已有文件供浏览（也可以求解）使用，不能编辑。由于LINDO编辑器对文件的大小是有限制的，因此用Flie/New和File/Open打开的文件不能太大（通常不超过64000字符）；而File/view不受文件大小限制，这对浏览特别大规模的文件（通常不一定是由LINDO本身的编辑器产生的）是有用的。

File/Title显示当前模型的名称（如果该模型被命名过，即模型的程序中出现过Title语句）。 File/Date显示当前日期和时间。File/Elapse Time显示本次启动LINDO以来已经运行了多长时间。

File/License输入验证LINDO的许可证密码、功能和界面如下图2-7。

说明：File/Long Output，File/Take Commands等其他子菜单的作用可参阅相应的书籍。

2．2．2编辑主菜单

该菜单下的多数命令基本上是不言自明的，与WINDOWS下的其他编辑器类似，这些命令就不具体介绍了。这里只介绍几个LINDO软件中特色命令。

Eidt/Options该命令打开一个对话框（见图2-8），用于设置LINDO系统运行的内部参数。从图中可以看出，可修改的参数分成两大类：左边一类是关于优化程序的，右边一类是关于输出格式的（Output）。先看输出格式中所包含的四个选项：Status Window（状态窗口）选项：用于控制是否简明的形式报告结果（默认设置为详细（Verbose）的形式报告结果）。 Page Length Limit（页长限制）：用于控制输出时每页最多显示多少行（可以设置为任意正整数；默认设置是“None”，表示无限制。Terminal Width（终端宽度）：每行的最大宽度（每行多少字符），可以设置为40-132之间的整数（默认设置为80）。关于优化程序（Optimizer）的参数又分成两类：左边一类是关于整数规划的；右边一类是一般参数。对于IP的参数设置可参阅相关书籍；对于LINDO的一般参数（General），可以如下设置：Nonzero Limit（模型中允许出现的非零系数的个数上限）：这个参数对于不同版本的LINDO软件默认值不同，试用版中是2000000。Iteration Limit（求解时允许的最大迭代步数）：默认值是“None”，即没有限制；有时为了防止计算时间太长，用户可以自行设置为任意一个整数。Initial Contraint Tol（初始阶段求解时约束条件允许的误差上限）：即只要约束两边相差小于这个数时，就认为约束成立。计算的初始阶段这个误差可能没有必要设置过小，以免找不到可行解，所以默认值是0.00008。Final Contraint Tol（最后阶段求解时约束允许的误差上限）：即只要约束两边相差小于这个数时，就认为约束成立。计算的最后阶段这个误差有必要设置的比较小，以便提高计算精度，所以默认值是0.00001。Entering Var Tol（进基变量的误差上限）：即只有当变量的判别数大于这个上限时，这个变量才可能进基（相当于认为绝对值小于这个数时，判别数就是零）。默认值是0.0000005.(具体含义见相关参考书)。Pivot Size Ｔol(旋转时采用的误差下限：即旋转变量的绝对值不能小于该上限(相当于认为绝对值小于这个数时，旋转元就是0)。默认值是0.0000000001。(旋转元和进基变量的含义见相关参考书)。一旦参数被修改并按下“OK”按钮后，将对所有此后的运行均有效，直到退出LINDO系统或重新设置这个参数为止，而与具体的模型无关。如果将这些参数用对话框中的“Save（保存）”按钮保存下来，退出LINDO后下次启动LINDO时这些参数仍然有效。对话框中右下方的

“Default（默认）”按钮恢复LINDO系统的默认参数值。“Cancel（取消）”按钮用于废除本次参数修改，关闭这个选项窗口。“Help（帮助）”按钮用于提供本窗口的在线帮助。

Edit/paste Symbol该命令打开一个对话框，用于在模型中当前光标后面插入符号。例如：对于前面介绍的LP模型（参见例2.1），Paste Symbol打开的对话框如图2-9，可以看到可选的符号主要是三类：Reserved（保留字）：LINDO系统的保留字（如一些常用的语句关键词和运算符号；Variable（变量）：当前模型的决策变量；Rows（行名）：约束的行号或行名。可以用鼠标双击其中某个符号，则该符号显示在图中的缓冲区（“Paste Buffer”）；也可直接编辑缓冲区的内容。当单击“Paste（粘贴）”按钮时，缓冲区的内容将被插入当前模型的当前光标后。单击“Clear（清除）”按钮将清除缓冲区的内容，单击“Close（关闭）”，按钮将关闭该对话框。Edit/Choose New Fond该命令用于指定显示的字体，字型和文字的大小。对话框如图2-10所示。

2．2．3求解主菜单

Solve /Compile Modl

Solve /Compile Modl（编辑模型）命令对当前模型进行编译。如果当前模型输入有语法错误，编译时将报告错误。Solve/Pivot

Solve/Pivot（旋转）命令从当前解出发进行一次单纯形旋转（即一次迭代）。用这个命令可以跟踪整个单纯形算法的运行。Solve/Debug

Solve/Debug（调试）命令分析LP无解或无界的原因，建议如何修改。

Solve/Preemptive Goal

Solve/Preemptive Goal（多目标）命令依次按照多个目标求解模型。

2．2．4报告主菜单

Report/Solution

Report/Solution（解答）命令显示当前的解（你必须在此之前求解过当前模型）。对话框参见2-11，你可以选择“All Values”（把所有变量的值全部显示）。“Nonzero Only”（显示非零取值的变量），然后单击“OK”按钮即可。

Report/Range

Report/Range（敏感性分析）命令显示当前解的敏感性分析结果（你必须在此之前求解当前模型）。敏感性分析可参见相关参考书。

Report/Parametrics

Report/Parametrics（参数分析）命令对约束的右端项进行分析，也就是研究某个约束的右端项发生变化时，最优值如何变化。例如，对于前面介绍过的生产规划的优化问题，对话框如图2-12，你可以选择参数分析结果的报告方式。单击“OK”按钮得到参数分析结果（如图2-13所示），非常方便！从图中和报告窗口中显示结果都可以看出，这时最优解和最优值没有变化。请你用其他数试试，看看效果如何。

Report/Statistics

Report/Statistics（统计）命令显示当前模型的统计信息。例如，对于当前介绍的生产规划的优化问题（例2-1），该命令将在报告窗口显示如下统计信息：

第1行的意思：该模型有行，2个变量，

第2行的意思：非零系数共有个，约束中非零系数共有个

第3行的意思：模型中系数的最小值和最大值（按绝对值看）分别为

第4行的意思：模型目标为极大化，

第5行的意思：

2．3使用技巧及注意事项

我们前面已经看到，LINDO软件对模型的输入格式的要求与线性规划问题的自然形式（数

字形式）非常类似，几乎没有什么差别，因此几乎不要专门学习就可以掌握。LINDO软件对模型的输入格式还是有一些特殊规定的。我们下面就简单解释一下使用LINDO软件建立线性规划问题的一些特殊注意事项。

（1） LINDO中变量名由字母和数字组成，但必须以字母开头，且长度不能超过8个字符

（只能是英文字符，不能含有中文字符）。LINDO中不区分大小写字母，包括LINDO中本身的关键字（如MAX，MIN等）也不区分大小写字母。

（2） LINDO中对优化模型的目标和约束用行号进行标识，这些标识会在将来的求解报告

中用到。用户没有指定行号时，系统将自动产生行号，将目标函数所在行作为第一行，从第二行开始为约束条件。我们也可以人为定义行号或行名，行号或行名总是以“，”结束，放在相应的约束之前；行号或行名可以和变量名一样命名，也可以只用数字命名，但长度同样不能超过8个字符。为了方便将来阅读求解结果报告，建议用户总是自觉地对每个约束进行命名。行名中甚至可以含有中文字符，但行名结束标志符号必须是英文字符，否则会出现错误。

（3） 在LINDO模型的任何地方都可以用“TITLE”语句对输入的模型命名，用法是在

TITLE后面写出其名字（最多72个字符，也可以有汉字），在程序中单独占一行。请看下面两个例子：TITLE Example Modle for Chapter 2。TITLE第2章的第一个例子前者将模型命名为“TITLE Example Modle for Chapter 2”，后者将模型命名为“第2章的第一个例子”。实际上这类似于对模型的注释和说明，这是模型命名的第一个作用。对模型命名的另一个目的，是为了方便将来阅读求解结果报告。因为我们有可能同时处理多个模型，很容易混淆模型与求解结果的对应关系。这时如果对不同模型分别进行命名，就可以随时（例如在求解当前模型前）使用菜单命令

“FILE/TITLE”将当前模型的名字显示在求解结果报告窗口中，这样就容易判别每个求解结果与每个模型的对应关系。此外，LINDO模型中以感叹号“！” 开头的是注释行（注释语句或称为说明语句），可以帮助他人或以后自己理解这个模型。实际上，每行中“！”符号后面都是注释或说明。例如：！This is a comment。第1行完全是注释语句；第2行则后半部分为注释语句。可以看出，注释语句中以有汉字，但领头的有感叹号“！”必须是字符，否则会出现错误。再次总结，提醒一下：行号。“TITLE”语句和注释语句，是LINDO中惟一可以使用汉字字符的地方。

（4） LINDO中变量不能出现在一个约束条件的右端（即约束条件的右端只能的常数）；

变量与其系数间可以有空格（甚至回车），但不能有任何运算符号（包括乘号“*”等）。

（5） LINDO中不能接受括号“（）”和逗号“，”等任何符号（除非在注释的语句中），例

如：400（X1+X2）需写成400X1+400X2；“10，000”需写成“10000”。

（6） LINDO中表达式应当已经经过化简，如不能出现2X1+3X2-4X1而应写成-2X1+3X2

等。

（7） LINDO中已假定所有变量非负。可在模型的“END”语句后面用命令“FREE”（设

定自由变量）取消变量的非负假定。其用法是“FREE”后面跟变量名，例如，在“END”语句后输入下面命令，可将变量X的非负假定取消：FREE X

（8） 可以在模型的“END”语句后面用命令“SUB”（即设置上界（set upper bound）的

英文缩写）设定变量的上界，用命令“SLB”（即设置下界（set lower bound）的英文缩写）设定变量的上下界。其用法是：“UB vnme value”将变量Vname的上限设定为value；“SUB”的用法类似。例如：SUB X1 10 ！作用等价于“X1〈=10”SLB X2 20 ！作用等价于“X2〉=20”。但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型的约束，因此LINDO也不能给出其松紧判断和敏感性分析。

（9） 数值均衡化及其他考虑：如果约束系数矩阵中各非零元的绝对值的数量级差别很大

（相差1000倍以上），则称其数值不均衡的。为了避免数值不均衡引起的计算问题，使用者应尽可能自己对矩阵的行列进行均衡化。此时还有一个原则，即系数中非零元的绝对值不能大于100000或小于0.0001。LINDO不能LP中系数自动进行数值均衡化，但如果LINDO觉得矩阵元素之间很不均衡，将会给出警告。

（10） 简单错误的检查和避免

当我们将一个线性规划问题的数学表达式输入LINDO系统时，有可能会带有某些输入错误。这类错误虽可能只是抄写和输入错误而造成的，但当问题规模较大时，要搜寻它们也是比较困难的。在LINDO中有一些可帮助寻找错误的功能，其中之一就是菜单命令“Report/Picture（Alt+5）”它的功能是可以将目标函数和约束表达式中的非零系数通过列表（或图形）显示出来。例2.2将图2-18中输入，Report/Picture命令，将弹出一个对话框（图2-19）；在弹出的对话框中采用默认选项（即不采用下三角矩阵形式，而以图形方式显示），直接按“OK”按钮可得到图2-20的输出。可以从图2-9很直观地的发现，其实错误原因只不过是在图2-18中的输入中，行的表达式中弄混了。在图2-20中，还可以用鼠标控制显示图形的缩放，这对于规模较大的模型是有用的。

下面一个例子，说明三个变量范围限定命令（FREE，SUB，SLB）的作用。

这个模型中变量X没有非负限制，对Y有上限限制，对Z有下限限制。用FREE，SUB，SLB三个命令可以实现这些功能，具体输入如图2-21所示。

求解得到的结果如图2-22所示，即最大值为122，最优解为X=-7，Y=0，Z=39。可以看出Y的上界（20）在最优解中并没有达到，下界（30）也没有达到，因此模型中去掉“sub y 20”“slb z 30”两个语句，得到结果应该是不变的。但由于最优解中X的取值为负值，所以“free x”这个语句确实是不能少的。我们不妨试下，去掉了这个语句后效果会怎样？这时我们会发现模型没有可行解。

（11） 使输出的结果更简洁

对于例2.3，选择菜单命令“Reports/Solution（Alt+0）”（这个命令的功能是把最优解显示出来），这时会弹出一个选择对话框（图2-23），默认的选项是“Nonzreo Only（只显示非零值）”。按下图2-24所示，可以看到这时只显示了2个取非零值的变量X，Z。特别对于大的模型，这样阅读起来非常方便。

（12） 合理设定变量的上下界，尽可能给出变量的初始值

如果在实际问题中知道变量的取值范围，那就是尽量告诉LINDO，不要让软件帮你到大海捞针。例如，如果X的取值范围在实际中是大于30小于50，就不要让软件在这个整数范围内寻求最优解。有时实际问题中还能感觉到最优解大致在哪个解附近，那就可以以初始值的形式告诉LINDO，这对于问题的求解是很有帮助的。毕竟，软件是死的，而人要比计算机聪明的多。