2016届《创新设计》数学一轮(文科)(浙江专用) 第四章 三角函数、解三角形 4-2

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

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最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平 面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量 的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共

线的条件.

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知识梳理1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这 一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1,λ2,使a = λ1e1+λ2e2 .

其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

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2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2) λa= (λx1,λy1) ,|a|=2 x1 +y2 1 .

,

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. → (x -x ,y -y ) → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= 2 1 2 1 ,|AB| = x2-x1 2+ y2-y1 2 . 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b x1y2-x2y1=0基础诊断 考点突破

.课堂总结

诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ( × ) → → (2)在△ABC 中，向量AB,BC的夹角为∠ABC. ( × )

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(3)若 a,b 不共线，且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2. (√ ) x1 (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成x 2 y1 =y . 2 (× )

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2.(2014·北京卷)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b= ( )

A.(5,7)C.(3,7)

B.(5,9)D.(3,9)

解析 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7). 答案 A

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3.已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实数 m 等于 ( A.- 2 C.- 2或 2 解析 答案 B. 2 D.0 )

由 a∥b,得 1×2-m2=0,所以 m2=2,即 m=± 2. C

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4.(人教 A 必修 4P101A3 改编)已知 ABCD 的顶点 A(-1, -2),B(3,-1),C(5,6),则顶点 D 的坐标为________. → → 解析 设 D(x,y),则由AB=DC,得(4,1)=(5-x,6-y),即 4=5-x, 1=6-y, x=1, 解得 y=5.

答案 (1,5)

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→ 5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B、C 三点满足OC → 2→ 1→ |AC| =3OA+3OB,则 =________. → |AB| 解析 → 2→ 1→ ∵OC=3OA+3OB,

1→ 1→ 1 → → → → ∴OC-OA=-3OA+3OB=3(OB-OA), → |AC| 1 → 1→ ∴AC= AB,∴ = . 3 → 3 |AB| 答案 1 3基础诊断 考点突破 课

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考点一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 (2015· 宁波联考)在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD → → → 平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD= ( 1 2 A.3a+3b 3 4 C. a+ b 5 5 2 1 B.3a+3b 4 3 D. a+ b 5 5基础诊断 考点突破 课堂总结

)

解析

法一 因为 CD 平分∠ACB,

深度思考 角平分线

AD AC |b| 由角平分线定理， 得DB=BC=|a|=2, → → 2→ 所以AD=2DB=3AB. → → → → 2→ → 所以 CD = CA + AD = CA + AB = CA 3 2 → → 2→ 1→ 2 1 +3(CB-CA)=3CB+3CA=3a+3b.

定理你知道吗？若知道的话可结合平面向 量基本定理解决；若 不知道的话可用特殊 三角形解决，不妨试

试.

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法二 (特殊值法)构造直角三角形， 令 CB=1, CA=2, AB= 3, 3 → 1→ → → → 则∠DCB=30° ,所以 BD= 3 .故BD=3BA,CD=CB+BD=a 1 2 1 +3(b-a)=3a+3b. 答案 B

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规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算来解决.

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【训练 1】 设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点，AD 1 2 → → → =2AB,BE=3BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1 +λ2 的值为________. 解析 → → → 1→ 2→ 1→ 2 → → DE=DB+BE=2AB+3BC=2AB+3(BA+AC)=-

1→ 2→ 1 2 6AB+3AC,所以 λ1=-6,λ2=3, 1 即 λ1+λ2=2. 1 答案 2基础诊断 考点突破 课堂总结

→ → 【训练 2】 (2015· 舟山联考)如图，平面内有三个向量OA,OB, → → → → → OC,其中OA与OB的夹角为 120° ,OA与OC的夹角为 30° , → → → → → 且|O A |=|OB|=1,|OC|=2 3,若OC=λO A +μO B (λ,μ ∈R),则 λ+μ 的值为________.

→

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