解(1)因为AB=4,BD=2AD,所以AD=.

又因为OA=3,所以D.

因为点D在双曲线y=上,

所以k=×3=4.

因为四边形OABC为矩形,所以AB=OC=4.

所以点E的横坐标为4.

把x=4代入y=中,得y=1,所以E(4,1).

(2)假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4-m.

因为∠APE=90°,所以∠APO+∠EPC=90°,

又因为∠APO+∠OAP=90°,

所以∠EPC=∠OAP,

又因为∠AOP=∠PCE=90°,所以△AOP∽△PCE.

所以=,即=,

解得m=1或m=3.

所以存在要求的点P,坐标为(1,0)或(3,0).