数学建模竞赛题学习小结

时间：2025-07-09

题目：CUMCM-2014B创意平板折叠桌

一、自己具备的相关理论和方法及解决的问题：

问题一：利用空间解析几何、平面几何的知识，建立直角坐标系，得出直纹曲面和桌脚边缘线的方程，通过方程进一步可以确定设计加工的参数。

问题二：从总体结构的稳固性、节省材料和加工方便几个角度出发，建立多目标规划模型。把用料最少作为目标函数，最优化求解后最终确定最外侧桌腿的长度，由此确定长方形平板材料的尺寸。把各个木条末端距离槽的距离的值作为目标函数，求得此目标函数取最小值时对应的钢筋位置作为其最佳位置。

问题三：以问题一中的求得的几何模型和问题二中稳固性和用料量的优化处理方法为基础，对于给定的任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状和桌角边缘线的形状，通过对最外侧桌腿长度、钢筋位置、剩余桌腿长度、平板材料形状尺寸进行改变，可以给出相应的有特色的设计方案，再将它们进行稳固性检验与可行性检验，通过后即可得出自己设计的创意平板折叠桌。

二、通过学习优秀论文（不少于3篇，分别标注）掌握的相关理论和方法：

优秀论文一：B27042017_吴俊锋_谭翔飞_庄重：

问题一：建立离散模型实现了对产品设计参数的精确描述，结合已知尺寸，计算出此折叠桌的加工参数（滑槽位置及长度），同时分析了每根木条随桌腿的运动情况并仿真展示。

问题二：建立桌面边缘线为圆形的折叠桌优化设计模型。通过对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度的综合优化，得出最优设计尺寸和加工参数。在稳定性分析过程中，首先对立置折叠桌进行受力分析，得出只有桌腿承力，因此可进行折叠桌简化分析，确定单侧木桌重心的位置，求解力的平衡方程得出稳定条件。在尺寸设计过程中，根据稳定时的桌腿位置与高度的关系，得出平板的设计尺寸。在滑槽设计过程中，因滑槽的长短和加工位置是影响系统稳定性及木板设计尺寸的关键，同时从易于加工的角度考虑，得出符合产品设计的约束条件。

问题三：建立任意桌形折叠桌优化设计模型。由于桌面形状的不确定性，需要抽象描述桌形。分析发现，任意桌形的设计必须满足沿桌长方向对称，桌宽方向桌形可不对称，这就需要根据折叠桌桌面的对称情况考虑是否需要分别优化通过重力作用点的yoz平面两侧桌型。为了表示通用的数学模型，仅对一侧建立优化模型，结合实际采用离散的优化模型，对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度进行分析。考虑到客户期望的桌脚边缘线是连续的，建立连续的设计桌脚边缘线方程，通过空间曲线间距离的积分来描述两边缘线的接近程度。

优秀论文二：B18013004邓敏娜_宁凯_董婷婷：

问题一：将空间中的平板桌投影到两个平面坐标系当中，利用三角形关系，建立桌脚边缘线的参数方程，计算出每条木条上的开槽坐标点，在给定其他参数的情况下给出了平板折叠桌的木条开槽加工参数，并将平板桌从折叠到打开的过程动态用图形给出了分步说明。

问题二：将木板的设计参数归结到两个影响因子：最外侧木条与垂直方向的夹角和钢筋位置与最外侧木条长度之间的比例系数。考虑桌子的牢固性和平衡性，以及加工工艺的限制，建立约束方程，选取目标函数，分别使得整个木材在满足设计要求的情况下用料最省；加工的木条开槽最短，加工最简单。

问题三：在满足平板桌稳固和平衡的条件下，调整桌面的边缘线为任意外凸曲线，只要建立曲线方程，代入问题二所建立的模型中，即可求取满足要求的平板桌设计样式的最优设

计参数。

优秀论文三：B16046004_程双泽_李君昌_陈凌勤：

问题一：建立直角坐标系，利用几何关系得到直纹曲面的方程、桌脚边缘线的方程，进一步可以确定设计加工参数。

问题二：以用料最省( 板材最短) 、加工方便( 总开槽长度最短) 为目标，各木条开槽下界不能超出木条、桌子状态下桌腿边缘不能相交、中间所有木条的桌腿不能沾地，以及桌子的稳固性作为约束条件，建立多目标优化模型。

问题三：先将圆形折叠桌的侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程推广到一般形状桌面和一般形状板材，然后利用多目标优化模型设计了两种特殊形状的折叠桌：非长方形板材的正方形折叠桌和8 字形折叠桌。通过改变木条的旋转角度分别画出了这两种形状折叠桌的动态变化示意图，并给出具体的设计加工参数。

优秀论文四：B01025004_刘桥_牟宇超_解中斌：

问题一：将折叠桌的动态变化过程简化为杆件的定轴转动，先利用空间解析几何与平面几何的知识计算出各桌脚的长度及开槽深度，从而计算出各桌脚的位置与高度的函数关系来描述了折叠桌的动态变化过程。

问题二：从结构的稳固性、节省材料和加工方便几个角度出发，考虑了几何约束、运动约束、静力学平衡约束，而从建立了一个关于重心位置与材料用量的多目标优化模型。