§2-5 波2函数薛定 谔方程 、波函一数1. 自粒子由波函数 的根据动理论波知可，X方向沿播传平面波的的动波程方为:x y( ,x t) Aocs2 (t ) 改为指数写函形数式

y( ,xt ) Ae x 2 i ( t )

沿对方向X动运单的自由粒能束子利用德布罗意，的频波率、波长 能与、动量量之间关系的可，得描其运动述态 状函的数式： 若由电子沿矢自径r 方向传，则播

2

.波函数的物 意理义

t 刻粒时子出现 在 r附d =d近dxdzy体内积几的为率： 2 2 | ( r , t ) |d ( x , y ,,zt ) xdydd z (x ,y z,, t ) *( ,xy, z t,)d xddzy 2波函数模 平的方| ( r, t )| 代t时刻表在r,处单 体位内积子粒出现的几，率即率密度。几——函数的物理意波义3. 函数必波须满足的件 标准条条：件值单、限、连有续归一化 件条:

*xddyd z 1

若一未归个化一的波函 (数 r,t ) 其 归化的一式形为 c ,它们 述同一描个观微态，状则一归化数系 1 : 2c | | dV

3例.设 子在一粒空间维动，其状态可用运波函描数为述：0 (x b / 2 ,x / 2b) iE x ( x t,) Aep(x t ) cos( )( b / 2x b / 2 ) b 其A为任中常意数E和，均b为定的确数求：归一化的波函数和几常率密W度。

b /2

| ( ,x t) | d x2 b/2 b 2

|/ x( , t) |d x (x,|t ) |2 dx 1 2 /b2

作业： 2-12,24,11 归5一的波函数： 化 ( x 0 / 2b x, b /)2 x, t( ) 2 iE x e px ( t )osc ()( b /2 x b / 2 ) b b几密度为：率 0(x b/ 2,x b 2) /2 W(x , ) t (x, t) 2 2 x co s( ) ( b 2 /x b /2 ) b b2 图所示，在如间 区 ( x t, () b2/b,/2)以找不外 ( , x ) t到粒；子在=0x找处x 到粒子 的率最几大。 o-b 2/ b2/

2 x 2b A osc( dx ) 1 A1 A b 2 2/b b b2/2

2二

薛定.谔程方-粒子波的动力-学方程1 . 由粒子的自薛定方程 i谔 匀速 ;v<<c ( p x x p yy p z Ezt ) 自由粒 子 势能e:Ur)=( 00(无 场) 能量力 :E=P22m / 2 2 2 Pipx i p x E 2 E 2 x x 2 m t

P 2 E 2 y 2m 2 2y

p2

2 2P 2 2 p 2 z 2 2 z 2 E i m 2t 2

+自由粒的子薛定谔方程2 22 2 2 22 拉普拉斯算 符 x zy

i E t

P 2 2

2

势能 :(rU t, ) 0(力 场) 2非.自由子粒(有力) 场能量 :=UE+2P/2m

P U E m22

P U E 2m

2

22 UE i 2 mt自由非粒子的薛谔定方程

3.定薛态定方程谔 f (d t) 2 f(t ) ( x ,y, z ) U (r) ( x y, z,) f t() i (x, ,y z) 2 mtd 两边除以 ( )rf (t ) 可得 ：1 22 1df(t ) [ ( x y, ,z ) U r( ) ( x, y, z )] i E0 2m f t )(d t(如库场仑,引力场) 2 可分 离量: 变 设: ( , r )t (x , y, )f z (t

)2 2 U E i2 mt 定 态:U U( x, , z) y 与 无t关

i df t )( i Ef (t ) f( t ) ex ( p E t) (r t, ) ( r) e t2d

i Et

态波定数

函 2 [ U ( r) ]( r) E r( )- -定态-定谔薛程 2m方

2 2 U E i 2m t定薛谔程方义意

质为量 ,在力场m (rUt )运动的粒中子 波的函数 须满必的足动力方程学 知粒已子 m受力 U(, x yzt) 解 薛..程;方求粒子的波函数得;得粒子间几率空布分相当从于d2x F m 2 中; 知已 \mF ;求 解 x x(出t dt)(本解征)( 征值本)一个U r (t ) 多 解个 r( )t其 :解数学上 一个 ( rt) 一个 E(定态 )物理上 个标三准条 件数(解要满足学物理意义) 个一一化条件 归子粒能量的量子E是在求解化程过中自然得到的薛定 方程谔地位相 当于典经力学中牛的二定律顿定薛谔程经受方住了有所近实代验验证的