《分式的乘除法》典型例题

例1 下列分式中是最简分式的是（）

4b2(b a)2

A．2 B． 6aa b

x2 y2x2 y2

C． D． x yx y

例2 约分

24 bx 4x 43ab(a b) （1） （2） （3）23x 412a(b a) 2b262

例3 计算（分式的乘除）

a2b 6cd 3m2

4 6mn（1） （2） 223c5ab4n

a2 4a 3 2（3）2 a 4a 3a 3a 2

a2 2ab b2ab b2

2（4） ab b2a 2ab b2

例4 计算

x2y2

3（1）( ) ( ) ( xy4) yx

2x 6x2 x 6 (x 3) （2） 24 4x x3 x

例5 化简求值

2ba3 ab2 2a2ba2 b2

a ，其中，b 3. 3a bb3ab b2

例6 约分

6ab2x3 2x2y（1）； （2）2 8b3xy 2xy2

例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式.

x2 4x 43a(a b)6

（1）； （2）； 23x 44(b a)

x2 2x 1x2 y2

（3）； （4） 2y

例8 通分：

（1）b

3a2c2，（2）2

9 3a， 2x 8x 8ca 2ab，5cb a 1aa2 3 2a，a2 5a 6

参考答案

例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A．(b a)2与(a b)有公因式(a b)，排除B，x2 y2分解因式为(x y)(x y)与(x y)有公因式(x y)，排除D.

故选择C.

解 C

例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分.

13ab(a b)63a(a b)3 (a b)3b3 b(a b)解：（1） 33412a(b a)3a(a b) ( 4)

x 2x2 4x 4(x 2)2

（2） x 2x2 4(x 2)(x 2)

24( b) 68b 44(2b 1)48b 4 （3）原式 22112b 33(2b 1)(2b 1)3 6b( 2b) 63 12b

2

例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中6mn4

的除式是整式，可以把它看成.然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先1

分解因式，再计算.

a2b 6cd a2b( 6cd)2ad 解：（1） 225b3c5ab3c 5ab

3m2 3m21m4 6mn （2） 4n24n36mn48n7

（3）原式 a 2(a 2)(a 2)(a 3) 2 (a 1)(a 3)(a 1)(a 2)a 1

(a b)2b(a b)(a b)(a b)a2 b2

（4）原式 b2b2b(a b)(a b)

说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除

法化成乘法，而根据分式乘法法则，是先把分子、分母相乘，化成一个分式后再进行约分.在实际运算时，可以先约分，再相乘，这样简便易行，可减少出错.

例4 分析：（1）对于含有分式乘方，乘除的混合运算，运算顺序是先乘方后乘除，一般首先确定结果的符号，再做其他运算，（2）进行分式的乘除混合运算时，要注意，当分子、分母是多项式时，一般应分解因式，并在运算运程中约分，使运算简化，因式，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是“1”的式子，然后按照分式的乘除法法则计算，这样可以减少错误.

x2y611解：（1）原式 2 ( 3) ( ) 42yx xyx

（2）原式

2(x 3)1(x 3)(x 2) 2(x 2)x 33 x2 2 x

例5 分析 本题要求先化简再求值，实际上就是先将分子、分母分别分解因式，然后约分，把分式化为最简分式以后再代入求值.

ba3 ab2 2a2b(a b)(a b)解 原式＝ 3a bbb(a b)

ba(a b)2b(a b) 3a bb(a b)(a b)

a b

2当a ,b 3时， 3

2

2原式 39

6ab26ab 2b23a . 例6 解 （1）3 38b8b 2b24b

x3 2x2yx2(x 2y)（2）2（分子、分母分解因式） 2xy 2xyxy(x 2y)

x（约去公因式） y

说明 1．当分子、分母是单项式时，其公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积.

2．当分子、分母是多项式时，先分解因式，再约去公因式.

x2 4x 4(x 2)2

例7 分析 （1）∵，分子、分母有公因式(x 2)， x2 4(x 2)(x 2)

所以它不是最简分式；（2）显然也不是最简分式；（3）中x2 y2 (x y)(x y)与

（4）中x2 2x 1 (x 1)2，y2没有公因式；2x2 8x 8 2(x2 4x 4) 2(x 2)2，

分子、分母中没有公因式.

x2 2x 1x2 y2

解 和2是最简分式； 2x 8x 8y2

x2 4x 43a(a b)3

和不是最简分式； 26x 44(b a)

化简

x2 4x 4(x 2)2x 2（1） . x2 4(x 2)(x 2)x 2

3a(a b)33a(b a)633（2） a(b a)634(b a)4(b a)4

例8 分析 （1）中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30，各字母a、b、c因式的最高次幂分别是a2、b2、c2，所以最简公分母是30a2b2c2.

（2）中分母为多项式，因而先把各分母分解因式，9 3a 3(3 a)；a2 3 2a (a 1)(a 3)；a2 5a 6 (a 2)(a 3)，因而最简公分母是3(a 1)(a 2)(a 3).

解 （1）最简公分母为30a2b3c2.

bb 10b310b4

22 ， 2232323ac3ac 10b30abc

cc 15ab2c215ab2c3

2ab2ab 15ab2c230a2b3c2

aa 6a2c6a3c 5cb5cb3 6a2c30a2b3c2

（2）最简公分母是3(a 1)(a 2)(a 3)

232 (a 1)(a 2)2(a 1)(a 2) 9 3a3(3 a)3(a 3) (a 1)(a 2)3(a 1)(a 2)(a 3)

a 1a 1(a 1) 3(a 2)3(a 1)(a 2) a2 3 2a(a 1)(a 3)(a 1)(a 3) 3(a 2)3(a 1)(a 2)(a 3)aaa 3(a 1)3a(a 1) a2 5a 6(a 2)(a 3)(a 2)(a 3) 3(a 1)3(a 1)(a 2)(a 3)说明 1．通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.

2．通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘以“什么”，分子也

必须随之乘以“什么”，且不漏乘.

3．确定最简公分母是通分的关键，当公分母不是“最简”时，虽

然也能达到通分的目的，但会使运算变得繁琐，因而应先择最简公分母.