教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类 计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高 学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组 合问题.

复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…,在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法.

N=m1 +m 2 + +m n

2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 法，…,做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有： 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.

N=m1m 2 m n

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 五位奇数. 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 C3 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 先排末位共有___ 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 C4 然后排首位共有___ 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 3 1 3 最后排其它位置共有___C 1 A4 A4 C3 4 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 1 1 A3 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288

练习题 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法？ A2 A5 1440 4 5

二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用甲乙 丙丁

捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有

A5 A2 A2 =480 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列.

练习题 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 ( 20 )

三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 第二步将4舞蹈插入第一步排 有 A5 种， 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法 由分步计数原理,节目的 4 5 不同顺序共有A5 A6 种相 独 独 独 相 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为(30 )

四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是： 3 A3 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外 4 A7 种方法，其余的三个 的四人就坐共有 4 1 种坐法，则共有 A7 种 位置甲乙丙共有 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

C

5 10

五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法， 依此类推,由分步计 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 m6

练习题 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为( 42 ) 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 ( ) 7

六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 A44 此位置把圆形

展成直线其余4人共有____ 种排法即(5-1)!

一般地,n个不同元素作圆形排 B A A B C D E C 列,共有(n-1)!种排法.如果 A 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 An 作圆形排列共有 m