2.3.2功率谱密度的性质

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2.3.2 功率谱密度的性质1 X ( )为非负实函数, 即 : S X ( ) 0 、S1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2TX T ( ) 0, 故S X ( ) 02

2、 若X (t )实平稳, 则S X ( )是偶函数,即: S X ( ) S X ( )1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2TX T ( ) X T ( ) X T ( ), 故S X ( ) S X ( )21

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2 2 例2.3.1 已知平稳随机过程的功 率谱密度为S X ( ) 4 3 2 2 求自相关函数 X ( )和平均功率W . R1 RX ( ) 2 1 j S X ( )e d 2

2 2 e j d 4 3 2 2

1 2

2 2 1 j ( 2 1)( 2 2) e d 2 2 e j d ( 2 1)

1 e j d ( 2 1) t

1 1 2 2

FT [e

2 ] 2 2

1 e 2

1 RX ( ) e 2

1 W RX (0) 22

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1 1 2 例2.3.2 已知随机电报信号的自 相关函数RX ( ) (1 e ) 4 4 求其功率谱密度 .

1 1 2 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ e ] 4 16

1 1 2 FT [ ] FT [ e ] 4 161 1 2 2 2 ( ) 4 16 (2 ) 2 2

FT [e

t

2 ] 2 2

1 ( ) 2 2 4 4 23

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1 例2.3.3 已知随机过程的自相关 函数RX ( ) (1 cos 0 ) 2 求功率谱密度 .

1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 21 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2

( )

2

[ ( 0 ) ( 0 )]4

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单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系只用正频率部分来表示功率谱密度 G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0 S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0

G ( ) 4 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) 0 GX ( ) cos d 2

工程实际中经常 要用单边功率谱5

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例 : 下列函数哪些是功率谱 密度的正确表达式 为什么? ?

2 cos(3 ) (1) ; (2) ; (3) exp[ ( 1) 2 ] 6 3 2 3 1 2

根据功率谱密度的性质来判断

(1) 该函数非负的实函数且 为偶函数, 故它是功率 谱密度的正确表达式 .

(2) 该函数虽为实偶函数但它可为负数 故不可能 , , 成为功率谱密度的正确 表达式.(3) 该函数虽满足非负的实 函数, 但它不是偶函数 , 故它不能成为功率谱密 度的正确表达式 .6

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16 例 : 平稳过程X (t )的功率谱密度为 X ( ) 4 S 13 2 36 求其自相关函数和均方 . 值

16 RX ( ) FT [ S X ( )] FT [ 4 ] 2 13 36

1 1

16 5 16 5 RX ( ) FT [ 2 2 ] 4 9 1

2 部分分式展开法 2 FT [e ] 2 t

16 1 16 1 1 1 FT [ 2 ] FT [ 2 ] 5 4 5 9

E[ X 2 (t )] R X (0)

4 15

4 8 4 2 8 3 1 2 2 1 2 3 FT [ 2 ] FT [ 2 ] e e 5 4 15 9 5 157

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例 : 平稳过程X (t )的自相关函数 X ( ) 5 2e R 求其功率谱密度 . 3

3

cos2

S X ( ) FT[RX ( )] FT[5 2eS X ( ) FT[5] FT[2e 3

cos2 ]FT [e t

cos2 ]

2 ] 2 2

1 FT [ f (t ) cos 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 2

1 6 6 S X ( ) 5 2 ( ) 2 [ ] 2 2 2 ( 2) 9 ( 2) 9

6 6 S X ( ) 10 ( ) 2 ( 2) 9 ( 2) 2 98

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2.4 高斯过程与白噪声高斯过程是从概率密度的角度来定义的，而 白噪声则是从功率谱密度的角度来定义的。 2.4.1 高斯过程如果对于任意时刻ti (i 1,2, , n), 随机过程 的任意n维随机变量X i X (ti )(i 1,2, , n) 服从高斯分布, 则X (t )就是高斯过程.

性质 : 宽平稳高斯过程一定是 1 严平稳高斯过程9

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性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 那么也一定是互相独立 , 的结论： (1)平稳高斯过程与确定时间信号之和也是高 斯过程，确定时间信号可认为是高斯过程的 数学期望。除非确定时间信号是不随时间变 化的，否则将不再是平稳过程。 (2)如果高斯过程的积分存在，它也将是高 斯分布的随机变量或随机过程。

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(3)平稳高斯过程导数的一维概率密度也是高斯 分布的, 其数学期望为零, 方差为 2 r ' ' (0) ,即 : f X ' ( x' ) 1 2 2 r ' ' (0) ex '2 2 2 r ''( 0 )

平稳高斯过程导数的二维概率密度是高 斯分布的，平稳高斯过程与其导数的联 合概率密度也是高斯分布的。11

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例 : 设随机过程X (t ) A cos 0t B sin 0t.其中A与B是两个独立 的正态随机变量 且有 : E [ A] E [ B ] 0, E [ A2 ] E [ B 2 ] 2 , ,

0为常数.求此过程X (t )的一维概率密度 .

X (t )是一高斯过程, 为确定其概率密度, 应首先判断其平稳性.

E[ X (t )] 常数, RX (t , t ) RX ( ), E[ X ] 2

E[ X (t )] E[ A cos 0t B sin 0t ] E[ A] cos 0t E[ B] sin 0t 0RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]

E[ X (t )] 0

E[{A cos 0t B sin 0t}{ A cos( 0t 0 ) B sin( 0t 0 )}]12

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