第4节平衡条件的应用之临界问题

临界状态是指某种物理现象（或物理过程）转变为另一种物理现象（或物理过程）的转折状态，它既有前一种物理现象（或物理过程）的特点，又具有后一种种物理现象（或物理过程）的特点，起着承前启后的转折作用．临界状态是物理问题中常遇到的一种情景．由于临界状态的存在使得某些问题的物理情景变得丰富多彩，找出“恰好出现”与“恰好不出现”的临界点的相关条件是处理临界问题的关键．

例1：一质量为m的物块在水平力F的作用下静止在粗糙的固定斜面上，如图所示，在F稍微逐渐增大的过程中，物块仍静止不动，关于物块所受的静摩擦力下列说

法可能正确的是（）

A．增大 B．先增大后减小

C．先减小后增大 D．减小

[分析] 本题中由于不知道斜面倾角α及F与物块质量间的大小关系，所以一时无法判断物块受到的静摩擦力的变化情况．假设物块不受静摩擦力的作用，是本题的临界点，找出此临界点的相关条件即临界条件是解题的关键．

[解答]假设物块不受静摩擦力作用，这时水平力为F0，则物块在水平力

F0、重力mg和支持力F N作用下恰好处于静止状态，如图所示，F0cosα =

mg sinα．

假设F从F0开始稍微逐渐增大到F1，则F1cosα > mg sinα，物块有沿

斜面向上的运动趋势，静摩擦力F f1方向沿斜面向下，即静摩擦力从零开始逐

渐增大到F f1，故选项A可能正确．

假设F从F2（设F2小于F0）开始稍微逐渐增大到F0，则mg sinα>F2cosα，物块有沿斜面向下的运动趋势，静摩擦力F f2方向沿斜面向上，所以当F从F2逐渐增大到F0时，静摩擦力就从F f2减小到零，故选项D可能正确．

假设F从F1逐渐增大到F2，则静摩擦力先由F f1减小到零，后由零增大到F f2，所以选项C可能正确，B错误．

答案ACD．

[规律小结]①临界问题一般是给出一定的条件（或范围），却隐去了物理现象或物理过程中的临界状态，解题者要根据题给条件或现象自己去判断存在这一临界状态，从而来解题．对这种问题，解题能力要求较高．

②解决临界问题的一般步骤：（1）用假设法求出临界条件．（2）比较题给条件与临界条件的关系，确定物理现象或物理过程加以求解．

注意：解答这类题型，应从静摩擦力是被动力入手，静摩擦力可能为零，可能方向沿斜面向上、也可能方向沿斜面向下。本题极易认为物块在F作用会有沿斜面向上运动的趋势，F稍微逐渐增大的过程中静摩擦力增大而只选A。

例2：质量为m的小球用细线系住，并放在倾角为α的光滑斜面上，斜面体位于水平面上，如图所示。现用水平力F向左推斜面体，在斜面体从图示位置开始向左缓慢移动的过程中，下列说法中正确的是（）

A．细线对小球拉力先变小后变大

B．细线对小球拉力先变大后变小

C．斜面对球的支持力始终变大

D．斜面对球的支持力始终变小

[分析] 在斜面体从图示位置开始向左缓慢移动的过程中，小球受到重力mg、线的拉力F1和斜面体的支持力F2而平衡．设线与竖直方向的夹角为θ．

思路一：用解析法求解，在△OG ′F 2中，重力mg 的平衡力G ′恒定，α不变，可以利用正弦定理，列出方程，求出F 1、F 2与θ角之间的关系式讨论求解．

思路二：本题属于三个共点力动态平衡问题可以用图解法解，但由于G ′和α角均不变，使得θ缓慢变大的过程中，线的拉力会出现最小值．

[解答]解法一：在△OG ′F 2中，由正弦定理得

F 1

sin α = F 2

sin θ = mg sin[180° - (α + θ)]

解得 F 1 = sin αsin(α + θ )

mg ① F 2 =

sin θsin(α + θ ) mg ② 由①式可知，当α + θ = 90°即线与斜面平行时，线的拉力F 1有最小值，

所以θ缓慢变大的过程中，线的拉力先变小后变大，选项A 正确．

若0° ≤ α + θ ≤ 90°，由于y = sin x 在区间[0°，90°]上是增函

数，由右图可知，x 值越大，y 值随x 值的增大反而增大得越慢，所以在θ缓

慢变大的过程中，sin θ比sin(α + θ)增大得快些，所以sin θsin(α + θ)

变大，由②式可知F 2变大；若90° ≤ α + θ ≤ 180°，由于y = sin x 在区间[90°，180°]上是减函数，所以在θ缓慢变大的过程中，sin(α + θ)变小，而sin θ却变大，

而由②式可知F 2变大．综上，在θ缓慢变大的过程中，斜面体的支持力

F 2变大，选项C 正确，D 错误．

解法二：斜面体从图示位置向左缓慢移动使θ缓慢变大的过程中，

F 1、F 2的变化情况如图所示，由于

G ′、α均不变，根据“直线外一点与

直线上各点连结的所有线段中垂直线段最短”可知，当F 1⊥F 2即线与斜

面平行时，F 1最小且为F min ．所以θ缓慢变大的过程中，斜面对球的支

持力大小从F 2→F 2′→F 2″即逐渐变大，线对球的拉力大小从F 1→F min →F 1″即先变小后变大．

答案AC ．

[规律小结]①本题的临界点是细线与斜面平行时细线对小球的拉力有最小值，属于隐性临界问题．

②比较以上两种解法，可以看出用图解法解决动态平衡问题，可以避免正交分解、列方程、解方程和讨论力的函数关系的繁琐过程；用解析法求解要求数学知识掌握熟练，且解题过程繁琐．

③若合力的大小和方向不变，其中一个分力F 1是方向不变，另一个分力F 2大小和方向都在变化，则分力F 2存在着最小值，这类问题可以用图解法快速找出临界点加以讨论．

注意：解答这类题型，关键要分析小球受到的力中哪个力是恒力，哪个力是方向在变，哪个力是大小方向都在变。由于小球的重力是恒力，支持力与拉力的夹角不断变大，本题会因没有考虑拉力存在最小值，极易认为支持力和拉力都变大而只选C 。

同步训练：

1、在圆弧形的杆子PQ 上用两根绳子AC 、BO 系住一个重为G 的物体当保持AO 与竖直方向的夹角α保持不变，逐渐增大BO 与竖直方向间的夹角β时，AO 、BO 绳子上的拉力F 1，F

2的变化情况是（ ）

A ．F 1、F 2都变大

B ．F 1变小，F 2变大

C ．当α + β < 90°时，F 1 变大，F 2变小

D．当α + β> 90°时，F1、F2都变大

2、倾角为α≤ 30°的斜面上，O处的轴上安一个可以自由转动的光滑挡板，如图．当挡板与斜面夹θ角缓慢增大的过程中光滑斜面对球的支持力和球对挡板的作用力如何变化？（）

A．挡板对小球压力先变小后变大

B．挡板对小球压力先变大后变小

C．斜面对球的支持力始终变大

D．斜面对球的支持力始终变小

3、重为G的物体放在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数

为μ，现用力拉物体匀速上升，如图所示，问F与斜面的夹角α为多大时最

省力？F最小为多大？

4、在电视节目中，我们常常能看到一种精彩的水上运动——滑水板运动，

如图所示，运动员在快艇的水平牵引作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，

设滑板是光滑的，若运动员与滑板的总质量为m，滑板的滑水面积为S，水的

密度为ρ，理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角为θ（板前端抬起的角

度)时，水对滑板的作用力大小F N=ρSυ2sin2θ，方向垂直于板面(式中的υ为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积)，求为使滑板能在水面上滑行，快艇的水平牵引滑板的最小速度υmin.

[参考答案]

1、CD[提示]用图解法求解．临界条件是F1⊥F2时F2有最小值．

2、AD[解析]θ缓慢增大的过程中，F1、F2的变化情况如图所示，根据“直

线外一点与直线上各点连结的所有线段中垂直线段最短”可知，当F2⊥F1即挡板

与斜面垂直时，F2最小且为F min．所以θ缓慢增大的过程中，斜面对球的弹力大

小从F1→F1′→F1″即始终变小，挡板对球的弹力大小从F2→F min→F2″ 即先变

小后变大．

3、[解析]解法一：常规法．对物体，由平衡条件得

F N=

G cosθ–F sinα，F f=F cosα-G sinθ，而F f=μF N，

整理得F=G(sinθ + μcosθ)μsinα+ cosα

设tanβ= μ，则F=G(sinθ + tanβcosθ)

tanβsinα+ cosα

=

G sin(θ +β)

cos(α-β)

当α =β= arctanμ时，cos(α-β) = 1有最大值，即

当α = arctanμ时，F有最小值F min=G sin(θ + β) =G sin(θ + arctanμ) 解法二：用图解法．由于F f = μF N，且F f⊥F N，所以F f与F N关系最密切，先将F f与F N 合成，四力平衡转化为三力平衡求解，而F f与F N的合力F fN方向始终保持不变，因为tanβ= F f

F N

=μ，而重力不变，可以用图解法求解．临界条件为F⊥F fN时F有最小值．

4、[解析]选取滑板和运动员为研究对象，受力平衡，则

mg

cosθ

=F N=ρSυ2sin2θ

即牵引速度为υ=

mg

ρS sin2θcosθ

令K=sin2θcosθ，则有K2= 1

2sin

2θsin2θ(2cos2θ)，

由于sin2θ + sin2θ+ (2cos2θ) = 2 (sin2θ+ cos2θ)= 2为定值，

由均值不等式可知，当且仅当sin2θ=(2cos2θ) 即tanθ=2（sinθ=2

3

、cosθ

=1

3

）时，K有最大值

2

3

·

1

3

=

23

9

，即υ有最小值，所以υ

min

=

33mg

2ρS